滑模控制与高阶滑模算法（Super-Twisting）
最近在学习容错控制，主要是基于滑模，但网上对滑模控制的讲解大多是直接抄课本，对于二阶滑模的STA算法的讲解更是云里雾里（可能只是我自己没看懂）。所以我找到了提出高阶滑模算法的原始文献[1]，结合《非线性系统》[2]里对一阶滑模的描述，对滑模控制和高阶滑模算法做一个总结。
滑模控制原理
我想，了解一个领域，最好的办法是由浅入深，由点到面，由简到繁。所以首先应该搞清楚这样的一个问题：滑模控制是解决什么问题的？其基本原理是什么？
答：滑模控制是一定条件下的强鲁棒性控制，即对于任意系统，尤其是非线性系统，在系统动态或控制输入有较大波动时，系统仍能保证一定的性能。其基本原理是，对于任意非线性系统x\dot=f(t,x,u)，在一定控制u下，让系统状态在有限时间内收敛到某一曲面s(x)=0，并且不再离开该曲面，从而将任意系统转化为由该曲面描述的降阶系统，完成系统调节、镇定、跟踪等任务。u的设计与f(t,x,u)具体形式无关，只与其上界有关，所以具有很强的抗干扰性。
（当然，也不能说“任意”，肯定要满足一定条件的，后面会说到。另外很多文献将曲面描述为manifold（流形），微分几何里的概念）
我们还是以一个二阶系统为例，对于如下系统：
其中g(x)>0，设计滑模控制u使系统稳定在原点。
调节过程分为两部分：
① 在滑模面外时，在有限时间内收敛到滑模面上，并不再离开
② 在滑模面上运动时，收敛到原点
先考虑②，如果在滑模面上，系统状态满足：
显然，这是一个线性齐次方程，x1和x1\dot都将以指数的形式收敛到原点，即(x1,x2)以指数形式收敛到原点。因此，可以令滑模面为：s(x)=cx1+x2
考虑①，即滑模外的点收敛到滑模面上的过程。此时只要分析s对t的导数：
该微分方程的Lyapunov方程可取为：
显然，V(s)是正定的，而V对t的导数：（以下f(x)记为f，g(x)记为g）
目标是设计u使V\dot负定。由于g>0，因此：
式中第一项恒大于0，设其上界为k，那么，只要：
就可以让V\dot负定，从而s一定趋于0，即滑模外的点一定收敛到滑模面上。
上述过程可以拓展到任意系统。对于系统：
其中G为对角阵，对角线上的函数都恒大于0。δ为分段连续的扰动。设计控制律u，使对任意G和δ，系统能稳定在原点。
首先做变量代换，系统转化为正则形式：
设计步骤如下：
① 首先设计滑模面ξ=Φ(η)，使滑模面上的点能收敛到原点。设计Φ即以下降阶系统
在原点的镇定问题。
② 设计控制律，使滑模面外的点能收敛到s=ξ-Φ(η)=0上。设计控制律即如下微分方程的镇定问题：
对于正则的微分方程，s的一阶导一定显含u，从而可以估算式中各函数的上界，给出u的表达式或取值范围。
高阶滑模算法
可以看出，前面介绍的原理，得到的结果一定是：通过高频切换u，使系统稳定在滑模面上。这种算法实际应用起来会有很多问题，比如在滑模面周围振荡，控制量故障后系统将很大程度偏离滑模面，控制过程有延时时性能大大降低等等。以前改进滑模算法的方式主要有两种：一是改进边界层，即在|s|较小时，用线性函数代替±1，系统响应就平滑一些。二是设计各种各样的趋近律，比如Twisting算法，Au算法，Drift算法等。
文献[1]第一次总结了此前各类算法，提出了滑模阶的概念，证明了有些算法是一阶的，有些算法在一定条件下是二阶的，并对Twisting算法进行了一些改进，成为了Super-Twisting算法的雏形。这里就不具体介绍了，简单总结一下文章内容：
① 给出一些定义，如滑模族，实际滑模和理想滑模，其中最重要的就是“滑模阶”的概念。作者是这样定义的（σ(t,x)=0为滑模面）：如果：
即σ趋于0的“程度”小于γ(ε)的r次方，则称这种趋近的r阶的。γ是ε的函数，并且ε趋于0时，γ趋于0。作者的定义比较严谨，实际上可以考虑幂函数在原点的趋近过程。y=k|x|是一阶的，y=kx平方是二阶的，以此类推。取γ=kτ时，作者得到：
还是有些抽象，总之，设计r阶滑模，就要让r-1阶导数趋于0。
② 给出了二阶滑模存在性的定理。
③ 分析了此前提出的各类滑模算法的收敛性，给出了一些定理，比如常规的滑模u=-k sign (σ)是一阶的，Au算法是一阶的，但当α较大时，可以趋于二阶，Twisting算法在一定条件下可以构造二阶滑模，用差分代替微分的离散形式的Twisting算法，在采样间隔较小时也能构造二阶滑模，Drift算法在一定条件下能构造二阶滑模，等等。最后特别给出一个不用计算σ导数的算法，并指出在一定条件下能构造二阶滑模。
④ 上述定理的证明。为得到二阶滑模，需要让σ一阶导数=0，因此需要分析σ二阶导数的动态：
其中C=LuLuσ，K=Luσ对u的偏导。C和K都有界。
（和一阶滑模类似，对于一阶，系统转为正则形式后，σ的一阶导数显含u，因此通过估算各个函数的界限得到u的表达式。二阶滑模则是σ的二阶导数显含u导数，从而也可以在一定条件下让σ二阶导数恒小于0）
对于③中最后那个不用计算σ导数的算法：
满足如下约束时：
并且ρ∈(0,0.5]，该算法能实现二阶滑模：
总结为，在该控制律下，可以让σ二阶趋于0，σ为t和x的任意函数。（一定条件，懒得看了，有点复杂，以后写论文时再研究吧）
⑤ 做个仿真
论文中给出这样一个抽风的非线性动力系统：
作者令σ=x3/Φ(x)，希望σ二阶趋于0，即σ趋于0并且σ导数趋于0。当然x3也就趋于0。
应用如下控制律：
在Simulink中搭建仿真：
设置初始位置(1,4,5)，初始控制u=0，得到（σ，σ导）的图像：
可见σ和σ导都趋于0。
x3随时间的变化：
收敛到0。
改变σ=(x3-t)/Φ(x)，希望x3趋向t，初始状态相同，从而：
同样都趋于0，再看状态变量x3:
修改微分方程右边，系统同样能让σ二阶趋于0，具有很强的抗干扰性。
参考文献
[1] Levant (Levantovsky, L. V.), A. (1993). Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control. Int. J. Control. 58(6), 1247—1263.
[2] H. K. Khalil, Nonlinear systems, 3rd ed. Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall, 2002.
