【数学基础Ep2】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

利用一道计算题，研究双曲正弦函数反函数的性质，需要牢记。

《解析几何（吕林根 许子道 编）》第一章的题目和高中知识结合紧密，题量丰富，可以作为一本与相对偏深的解析几何书籍（如《空间解析几何（黄宣国 编著）》）或者与高等代数结合紧密的解析几何书籍（如《解析几何（丘维声 编著）》）的过渡型教材。

预备知识：

1. 向量加法满足交换律，结合律，a+0=a，a+（-a）=0
   

2. 向量数乘满足结合律，1a=a，第一分配律，第二分配律

3. 向量数乘第一分配律：（l+m）a=la+ma

4. 向量数乘第二分配律：l（a+b）=la+lb

5. 代数数：满足整系数代数方程a0x^n+a1x^（n-1）+……+an=0的实数（根）。（有理数是代数数；p+q*7^（1/2）——p，q是有理数，满足方程x^2-2px+（p^2-7q^2）=0，是代数数。）

6. 超越数：非代数数的实数。（圆周率π，对数底e。若a是不等于0，1的代数数，b是无理数又是代数数，则a^b是超越数。）

参考资料：

1. 《数学复习全书（数学一）》（李正元 尤承业 范培华 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

4. 《数学分析教习题演练》（周民强 编著）
   

数学分析——

例题（来自《数学复习全书（数学一）（李正元 尤承业 范培华 编）》）：正好这个题目的形式和这几天说的双曲函数有关，故而选进来，说明这种函数的重要性——求w=lim{1/ln[x+（1+x^2）^（1/2）]-1/ln（1+x）}，x趋近于0。

思路——

1. 我们优先反应过来ln[x+（1+x^2）^（1/2）是sh x的反函数，我们可以利用这道题来研究双曲正弦函数，反函数的性质；

2. 注意到，两项分母都是无穷小，所以这是一个∞-∞型的不定式，那么，我们先将其转化为分式形式的不定式，即通分：1/ln[x+（1+x^2）^（1/2）]-1/ln（1+x）={ln（1+x）-ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}/{[ln（1+x）]{ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}}；

3. 等价无穷小在分式和乘式中是可以相互替代的，故而我们将分母以等价无穷小代替，其中已知，x趋近于0时，ln（1+x）~x，我们主要研究分母中另一个因式——

   据洛必达法则：x趋近于0时，ln[x+（1+x^2）^（1/2）]/x=[1/（1+x^2）^（1/2）]/1=1，故而，得到x趋近于0时，ln[x+（1+x^2）^（1/2）]/x~x，2式即为0/0式不定式，可以用洛必达定理；

4. 对2式进行计算：

   1/ln[x+（1+x^2）^（1/2）]-1/ln（1+x）

   ={ln（1+x）-ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}/{[ln（1+x）]{ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}}……通分

   ={ln（1+x）-ln[x+（1+x^2）^（1/2）]}/x^2……等价无穷小替代

   =[1/（1+x）-1/（1+x^2）^（1/2）]/2x……洛必达法则

   =[-1/（1+x）^2+x（1+x^2）^（-3/2）]/2……洛必达法则

   =-1/2

注：应记知识点——

1. ln[x+（1+x^2）^（1/2）是sh x的反函数；

2. ln[x+（1+x^2）^（1/2）]的导数是1/（1+x^2）^（1/2）；

3. x趋近于0时，ln[x+（1+x^2）^（1/2）]/x~x。
   

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——设L，M，N是三角形三边的中点，O是任意一点，证明：OA+OB+OC=OL+OM+ON。

思路：将OL+OM+ON用OA，OB，OC，AB，BC，CA表示——

1. 设L，M，N依次为三角形三边AB，BC，CA的中点，即AL=AB/2，BM=BC/2，CN=CA/2；

2. 由1有：OL+OM+ON=（OA+AL）+（OB+BM）+（OC+CN）=（OA+AB/2）+（OB+BC/2）+（OC+CA/2）；

3. 向量加法满足交换律与结合律：OL+OM+ON=（OA+AB/2）+（OB+BC/2）+（OC+CA/2）=（OA+OB+OC）+（AB/2+BC/2+CA/2）；

4. 向量数乘满足第二分配律：OL+OM+ON=（OA+OB+OC）+（AB/2+BC/2+CA/2）=（OA+OB+OC）+（AB+BC+CA）/2=（OA+OB+OC）+0=（OA+OB+OC），得证。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）：记住这个例子——有没有不含非零整数的数环？如果有，举出实例；如果没有，加以证明。

解：有这样的数环，例如：

R={a1π+a2π^2+……+anπ^n|ai是整数，n是自然数}，π为圆周率。

R显然作成一个数环，而且R不包含不等于零的整数。

若不然，设R含有非零整数a0，则令a0=a1π+a2π^2+……+anπ^n，则π为整系数方程-a0+a1x+a2x^2+……+anx^n=0的根，这与π是超越数矛盾。

故数环R不包含非零整数。

就到这里！