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【趣味数学题】牟合方盖的体积

2021-07-17 09:54 作者:AoiSTZ23  | 我要投稿

 郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

牟合方盖(bicylinder)是由两个垂直的横截面相等的圆柱相交而成的立体形状。相交圆柱的横截面是半径为 r 的圆。使用积分法来推得牟合方盖的体积公式。

【题解】

首先要考虑的是积分方向上的等高线(level curves)。让积分方向上在x轴上进行。x轴上的横截面是正方形,在半径为 r%20 的圆 x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%20r%5E2 而变分。所以,正方形的横截面的边长可以用下列公式表示

b%3D2y%3D2%5Csqrt%7Br%5E2%20-%20x%5E2%7D

然后其面积是

A%3Db%5E2%20

A%3D4y%5E2

A(x)%20%3D%204(r%5E2%20-%20x%5E2)

所以,牟合方盖的体积是

V%20%3D%20%5Cint%5E%7Br%7D_%7B-r%7D%204(r%5E2%20-%20x%5E2)dx

V%20%3D%204%5Cleft%5Br%5E2x%20-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%5CBiggr%7C_%7B-r%7D%5E%7Br%7D%20%5Cright%5D


%20V%20%3D%20%5Cfrac%7B16r%5E3%7D%7B3%7D%20



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