games101学习笔记02-MVP变换p4

目录

一、MVP变换

模型变换 视图变换 投影变换

二、视图变换

三、投影变换

正交投影 透视投影

正文

一、MVP变换

mvp包括模型变换（model transportation），视图变换（view transportation）和投影变换（projection transportation）。

以现实中拍照为例，模型变换即摆放场景中物体位置，视图变换即摆放摄像机的位置，投影变换即拍照成像。

相机如何定义：相机位置Position、相机朝向Look-at、向上方向up（决定画面是否倾斜）

二、模型变换

将局部坐标转换到世界坐标。

三、视图变换

将世界坐标转换到视图坐标。

当相机场景中所有其他物体相对位置不变时，呈现画面一定不变，因此画面的变换只需要看相对位置的变换。为了方便起见，视图坐标把相机看做是静止的，把相机的位置看做是坐标轴的原点，相机的向上方向为y轴，相机的朝向为-z轴。而其他所有物体在相机的坐标系中移动。

步骤如下：

1.先把相机局部坐标中的中心点e平移到世界坐标的原点。平移矩阵如下：

2.把g旋转到与-z平行

把一个一般的向量旋转到与坐标轴平行比较麻烦，但把坐标轴旋转到与一般的向量平行很简单，因此这一步可以先写出-z轴旋转到g的变换，再求矩阵的逆（转置）。

-z旋转到g的旋转矩阵：

再求转置：

3.把t旋转到与y平行

与2同理。

当相机进行视图变换移动到坐标轴时，场景中的物体也进行相同的视图变换，就可以保证成像依然没有变化。

二、投影变换

将视图坐标转换成裁剪坐标。可以理解为，在物体和相机位置之间设置一个屏，把物体的坐标变换为在屏上的坐标。

分为透视投影perspective projection与正交投影orthographic projection。

1.正交投影

设想把相机拉到无穷远位置，则无论物体的远近，其拍摄的物体的投影大小都与物体本身是一致的。即忽略深度信息，没有近大远小。

对于正交投影，把摄像机看作原点，朝向看作-z轴，向上方向看作y轴。如下图。在这张图中，只是简单地把物体坐标信息中z轴的信息去掉，变成只含x，y的二维坐标，就得到了字母E的正交投影的坐标了。在该图中，E在屏幕后方，点在屏幕前方，但是投影在屏幕上却无法看出前后关系。

为了方便后续工作，在正式的正交变换中，会把一个一般的立方体变成标准立方体。

先把物体中心移动到原点，即每条边挪动中点到坐标轴的距离（下图右边的矩阵）。再进行缩放（左边矩阵）。

2.透视投影

满足近大远小，许多平行关系在投影中不再平行。

透视投影变换如何进行：

先变成正交，再进行正交投影。

（1）把透视投影转换成正交投影

如下图，这个六面体向左侧延伸汇聚的点就是相机中心点。n处表示近处的平面，f处表示远处的平面。其中的实线表示了f平面到n平面的透视关系。

想象将f处平面挤压，变成一个和n处平面大小一致的平面，那么其中的透视线也将变得平行。也就是变成了正交投影。这一步具体来讲，应该是保持近平面不变，远处的平面的前后距离不改变，而围绕中心点进行放缩。

接下来将求出变换矩阵。

侧面图如下。只看特定点(x,y,z)，在平面上的投影点为该点挤压后的结果，根据相似三角形得到。同理x'=n/z*x。

则(x',y',z')用齐次坐标表示为(n/z*x,n/z*y,?,1)T，相当于(nx,ny,?,z)T。

也就是说，对(x,y,z,1)T进行透视转正交的变换后（左乘变换矩阵M），得到(nx,ny,?,z)T。则可以计算出这个变换矩阵如下。

（在下文中用M代称）

不妨设四个问号的值为P,Q,A,B。为了解出它们的值，还需加入新的条件。

条件一，在距离n所在的平面上（即近平面）的点，在近平面上投影不变。在近平面上的点，就是把(x,y,z,1)T中的替换成n，也就是(x,y,n,1)T。为方便计算，乘个n转化为(nx,ny,n²,n)T。

数学表示为M·(x,y,n,1)T=(nx,ny,n²,n)T。对于第三项n²的计算，有n²=Px+Qy+An+B。

则结论为P=Q=0，An+B=n²，A、B未知。

条件二，远平面上的中心点的位置不发生改变。

数学表示为M·(0,0,f,1)T=(0,0,f²,f)T。

则结论为Af+B=f²。

根据两个结论，解方程组即可。

（2）进行正交投影变换