阿基米德如何求双曲面旋转体的体积

       现代数学中，我们知道，双曲线的旋转曲面大体分为两类，一类是单叶双曲面，一类是双叶双曲面，这是它们绕着不同的对称轴旋转得到的不同效果图。如上面的图形所示。

       我们知道，双曲线是对称出现的两支曲线，如果把这两支曲线及其所在的平面绕着它的轴线旋转一周，就会得到一对类似球面的曲面和这一对曲面包含的旋转体。或者说，我们把双曲线包含的平面部分即双曲面，绕轴线旋转，就会得到两个无限双曲面旋转体。这两个旋转体都随着轴线的延伸而无限增大，但我们往往研究的是它的截取部分，也即是：如果用一个平面截其中的一个无限双曲面旋转体，那么曲面和这个平面之间的部分就是我们这里所谓的双曲面旋转体。这里的旋转体主要是对应着双叶双曲面的情况而定的。

        如何求这个任意截取的双曲面旋转体的体积呢？阿基米德在本命题中给出了解决的办法，他还是把这个旋转体的体积跟与它同底等高的圆锥体之间建立比例来解决的。二者的比例关系用如下文字可以表述：[关于钝角圆锥体的外接类球缺（例如，双曲面旋转体）和一个圆锥体]，它们具有相同的底面和相等的高度，此类球缺与圆锥体的比，如同类球缺的轴线与轴线的附加部分的三倍之和，与类球缺的轴线与附加部分的两倍之和的比.（这里的附加部分指的是：通过双曲面轴线的双曲截面的贯轴.或者，换个说法，指的是类球缺顶点与包络圆锥顶点之间的距离.）

        看到这段话，有种云里雾里的感觉，下面，我就跟大家絮叨絮叨其中的几个关键词，首先是“钝角圆锥体的外接类球缺”，由于双曲线的弯曲程度相对较小，所以，它的内接圆锥体的顶角都是钝角，所以称这样的圆锥为钝角圆锥体，那么，包裹着它的外接双曲面旋转体，因为它的弯曲是平滑的，类似球面的样子，而且又是别一个平面截取的部分立体图形，所以我们姑且称之为类球缺，合起来就是钝角圆锥体的外接类球缺，其实就是我们刚刚提到的双曲面旋转体；轴线的附加部分，指的是轴线在双曲面顶点处往外延伸到两双曲线对称中心的水平距离这一段线段，它是轴线往外的延长线。

       本命题仅仅给出了结论，并没有给出证明的过程，主要因为在阿基米德的另一本著作《论劈锥曲面体和旋转椭圆体》的命题25中已经给出了证明。下面我先给出我们的简短译文，然后再为大家附上陕师大出版社翻译的《论劈锥曲面体和旋转椭圆体》中的证明过程。当然，我们翻译的图形名称和其他同仁们翻译的有不同之处，出发点都是怎么有利于读者的理解，请大家在对比阅读中注意区别和联系。请看：

翻译正文：

《论劈锥曲面体和旋转椭圆体》中的证明：