与立体几何及组合有关的好题

在单位球x^2+y^2+z^2=1的表面放一系列点，满足任意两点间距离不小于√2，求能放的点数的最大值．

从直观感受来讲，下述放法已是非常致密的一种，此时点数为6：

为了严谨，我们证明6就是最大值，

容易想到使用抽屉原理：我们将球面划分成六个部分，在每个部分内两点间最大距离都小于√2，这样便完成了问题．

首先，放置第一个点（球是高度对称的，不必纠结第一个点的位置），那么显然，以这个点为顶点的半球（不包括边界）界不能再放置其他点，记这个区域为区域1：

对于另一个半球，如何将其划分为互不相交的五块呢？1/8球面是一种理想的构造，我们将其划出如下的又4个区域：

对于每个1/8球面，与半球面相交弧部分属于本区域，左方的弧属于本区域，这两条弧的公共点也属于本区域，这四个区域呈顺时针排列。通俗的讲，在它周围的三条弧和三个点，它占有两条弧与一个点，容易发现，它是我们想要的构造。

至于最后一个区域，想必读者也已经发现：点1的“对顶点”，区域2、3、4、5所在半球的顶点：

我们成功构造了设想中的区域分划，使用抽屉原理即可。

笔者前两天发现了这个有趣的问题，与同校交流后得到了成功的构造，并又得到了几个衍生的问题，供读者思考：

1．在单位球x^2+y^2+z^2=1的表面放一系列点，满足任意两点间距离不小于1，求能放的点数的最大值．

2．在单位球x^2+y^2+z^2=1的表面放一系列点，满足任意两点间距离不小于√5/2-1/2，求能放的点数的最大值．

他们正是从球心观察，张角为60度与36度的情况．

许罗旸 2023年8月16日