之前一个问题的补充

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\title{之前一个问题的补充}

\author{真王无敌}

\date{（在此感谢上海师范大学陈晓煜副教授的指导！）}

\geometry{a4paper,top=0.5cm,left=2cm,right=2cm}

\begin{document}

\maketitle

\section*{引理与证明}

引理：已知$E$为$k$阶单位矩阵，$A$为任一$k$阶方阵，则极限

$$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}A\right|^n=e^{-tr(A)}$$

其中$tr(A)$代表矩阵$A$的迹。\par

证明：因为任意矩阵必相似一个若尔当标准型，即$A\sim J$，所以$\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}A\right|\sim\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}J\right|$，且令$J$的$k$个对角线元素为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$（$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$不一定互相不同），因此原式有

\begin{align*}

\lim_{n\to +\infty}\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}A\right|^n&=\lim_{n\to +\infty}\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}J\right|^n\\

&=\lim_{n\to +\infty}\left[\left(1-\displaystyle\frac{\lambda_1}{n}\right)\left(1-\displaystyle\frac{\lambda_2}{n}\right)...\left(1-\displaystyle\frac{\lambda_k}{n}\right)\right]^n\\

&=\lim_{n\to +\infty}\prod_{p=1}^{k}\left(1-\displaystyle\frac{\lambda_p}{n}\right)^n \\

&=\prod_{p=1}^{k}\lim_{n\to +\infty}\left(1-\displaystyle\frac{\lambda_p}{n}\right)^n \\

&=\prod_{p=1}^{k}e^{-\lambda_p}\\

&=e^{-(\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_k)}\\

&=e^{-tr(A)}

\end{align*}

\section*{题目}

(FDU)已知$E$为三阶单位矩阵，三阶矩阵$B=$

$\begin{pmatrix}

    1 & 2 & 3\\  

    4 & 5 & 6\\

    7 & 8 & 9

\end{pmatrix}$

，求极限$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left|E-\displaystyle\frac{1}{n}B\right|^n$

\section*{解答}

不难发现题中矩阵$B$的迹为$tr(B)=1+5+9=15$，所以由引理，答案为$e^{-15}$

\end{document}