关于无理数的一则数学公案引发的思考

        在带领学生们学习实数中的无理数时，遇到了这样一则故事，人教版的教材是这样叙述的：为什么说√2不是有理数？公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点,即“万物皆数”,一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示,后来,当这一学派中的希帕索斯( Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示,即√2不是有理数时,毕达哥拉斯学派感到惊恐不安由此,引发了第一次数学危机。在书中，还给出了√2不是有理数的一种证明方法。也即是通过数论中的互素原理，证明了它无法表示成两个整数之比。

        但是，最近读到另一本著作《神秘的阿列夫：数学、犹太神秘主义教派以及对无穷的探寻》一书时，却读到了如下的不同叙事：一个稍后的毕达哥拉斯派学者——菲洛罗斯( Philolaos,公元前4世纪)写到了关于对三角形数特别是对10的崇拜。菲洛罗斯描述的神圣的10如同全能的创始者,指导着天上和地上的生活1。我们知道的有关毕达哥拉斯派的许多事情都来自菲洛罗斯和生活在毕达格拉斯以后的学者的著作。

        毕达哥拉斯派发现,有不能表示成两个整数之比的数,这种数叫做无理数。毕达哥拉斯派是从他们著名的定理推导出无理数的存在的,该定理说的是直角三角形斜边的平方等于其他两边的平方之和,+=。这可由图形证实如下

        当这毕达哥拉斯定理应用到两边都是1的直角三角形时,斜边的长就应由方程

得到,即c=。毕达哥拉斯派认识到这个数是不能被写为两个整数之比的。有理数是形为a/b的数,其中a和b都是整数,它们的十进小数位或变成全是零,或有一部分是无限循环的。例如,1/2=0.5000…；2/3=0.66666…；6/11=0.54545454…。另一方面,无理数是无限不循环小数。因而无理数是需要写出无限多个十进小数位的。

        对于毕达哥拉斯派和追随者来说,发现无理数是不能接受的,因为数已变成毕达哥拉斯派的宗教信仰。数是他们崇拜的偶像。而数只意味着整数和分数。2的平方根是一个不可能用上帝所创立的两个数的比来表示的,它的存在危及他们的整个信仰体系。这个捣乱的发现来到的时候,毕达哥拉斯派已经献身于研究数的威力和神秘性的秘密盟会。

        希帕苏斯( Hippasus),毕达哥拉斯派的一个成员,由于他把无理数的存在泄露给外部世界而被认为犯了重罪。有一些有关这一事件余波的传说。应某些人的要求希帕苏斯被盟会开除了。还有一些传说谈到他是怎样死的。有一个故事说毕达哥拉斯本人勒死或溺死了这个叛徒,而另一些则描写了毕达哥拉斯派如何在希帕苏斯还活着时为他挖掘坟墓,然后秘密地将他处死。还有一个说法是希帕苏斯被盟会其他成员放进一叶漂浮在海面的小舟里,接着把它沉入海底。

        看来，希帕苏斯( Hippasus)指的就是我们课本中的希帕索斯。但两本书中他的死法迥然不同，而且无理数的发现者也未必是希帕索斯，他只是把本学派的秘密泄露出了而已。看来，真如古人所说：“尽信书，则不如无书。”教材上的叙事与西方数学家的叙事可以有这么大的出入。由此观之，读书只能作为人生判断力训练的一种参考而已，更多的事情还得靠自己亲生经历了才好判断。或者，还需要读更多的书，才能做出相对客观的判断。如不然，纸上谈兵之祸将随之而来，自己却浑然不觉。如今，我是无法去亲身经历古人的经历了，只有找更多的书和资料来尽量获取相对正确的知识与方法了。虽如此，也难以确定自己所获得知识即为真理。这或许就是成长之后给自己信念带来的不确定感吧！正因为不确定，所以，才能走向深思与辨证，才算走向些许的成熟吧？