Lebesgue方法——复习笔记Day118.1.1

2023-04-03 21:44 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

从这期开始讲一些方法，这些方法可能在考试中不怎么常用，但是都是我觉得比较有意思的。

在右下角我放了一张二刺螈的图片，假装自己有一个虚拟形象

想要知道 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法是什么，不妨先看一道例题感受一下

例1 证明有限覆盖定理

假设 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是闭区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 的一个开覆盖，现在要证明 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的有限个元素就能覆盖 $%5Ba%2Cb%5D$ ，记 $A%3D%5Cleft%5C%7B%20x%7C%5Cleft%5B%20a%2Cx%20%5Cright%5D%20%5Ctext%7B%E8%83%BD%E8%A2%AB%7D%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20%5Ctext%7B%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%89%E9%99%90%E4%B8%AA%E5%85%83%E7%B4%A0%E8%A6%86%E7%9B%96%7D%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么首先 $A$ 是非空的，因为 $%0A$ $%5Ba%2Ca%5D%3D%5C%7Ba%5C%7D$ 是一个单点集，显然能被 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的某个元素覆盖，接下来假设 $%5Cxi%3D%5Csup%20A$ ，为了证明结论，只需要证明 $%5Cxi%5Cge%20b$ 就好了。

如果结论不成立，不妨设 $%5Cxi%3Cb$ ，那么此时， $A%3D%5Ba%2C%5Cxi)%E6%88%96%5Ba%2C%5Cxi%5D$ ，无论是哪种情况，都可以找到 $%5Cxi%20%5Cin%20%5Cleft(%20a_0%2Cb_0%20%5Cright)%20%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ ，此时有 $a_0%3C%5Cxi$ ，而根据 $A$ 的定义，可以找到 $%5Cleft%5C%7B%20O_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 中的有限个元素，使其覆盖 $%5Cleft%5B%20a%2Ca_0%2B%5Cfrac%7B%5Cxi%20-a_0%7D%7B2%7D%20%5Cright%5D%20$ ，那么这有限个元素再加上 $%5Cleft(%20a_0%2Cb_0%20%5Cright)$ ，就构成了 $%5Cleft%5B%20a%2Cb_0%2B%5Cfrac%7Bb_0-%5Cxi%7D%7B2%7D%20%5Cright%5D%20$ 的一个有限覆盖，这与 $A$ 的定义矛盾，所以结论得证

从这个例子中可以看出， $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法有点类似于数学归纳法，其基本思路可以理解成：为了证明某个结论，就假设这个结论成立的结论的最大集合是 $A$ ，然后首先证明这个结论成立的集合是非空的，然后通过确界存在定理，将这个结论适用的范围不断向外延展，延展到结论被证明为止

这个证明方法是我在谢惠民上面看到的， $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法也是上面介绍的

例2 如果函数 $f(x%2Cy)$ 在区域 $D%5Csubset%20R%5E2$ 上的偏导数为0，那么它在 $D$ 上一定是常值函数

这是陈纪修上册的一个推论，这里的区域指的是连通的开区域

在证明这个结论之前，已经证明了这个结论在凸区域上是成立的了，现在想要证明这个结论，和证明凸区域的情况一样，就要证明任取两个点 $x_1%2Cx_2$ ，证明这两个点的函数值是相同的。为了证明这个结论，一个很直观的想法是从 $x_1$ 出发，那么 $x_1$ 在 $D$ 内的某个邻域上所有的点的函数值都和 $x_1$ 相等，再从邻域中选取一个较为“接近” $x_2$ 的点，那个点又可以得到一个邻域，那个邻域上所有的点的函数值都和 $x_1$ 相等，然后又可以找到更为“接近” $x_2$ 的点···以此类推不断地做下去，就可以证明 $x_1%2Cx_2$ 处的函数值相等了

现在用 $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 方法来严格证明这个结论，首先将 $x_1%2Cx_2$ 通过使得 $%5Cgamma%20%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3Dx_1%2C%5Cgamma%20%5Cleft(%201%20%5Cright)%20%3Dx_2$ 的连续函数 $%5Cgamma%20%3A%5Cleft%5B%200%2C1%20%5Cright%5D%20%5Crightarrow%20D$ 连接起来，然后记

$A%3D%5Cleft%5C%7B%20y%7Cf%5Cleft(%20%5Cgamma%20%5Cleft(%20t%20%5Cright)%20%5Cright)%20%3Df%5Cleft(%20x_1%20%5Cright)%20%2Ct%5Cin%20%5Cleft%5B%200%2Cy%20%5Cright%5D%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么首先 $A$ 是非空的，因为 $0%5Cin%20A$ ，为了证明结论，只需要证明 $%5Csup%20A%3D1$ 就好了。如果结论不成立的话，设 $%5Csup%20A%3Dt_0%3C1$ ，那么首先依连续性（注意 $f$ 的偏导是连续的，所以 $f$ 是可微的，自然也是连续的），有 $A%3D%5Cleft%5B%200%2Ct_0%20%5Cright%5D%20$ ，又因为 $D$ 是开集，里面所有的点都是内点，且 $%5Cgamma$ 连续，所有存在充分小的 $%5CDelta%20t$ ，使得 $%5Cgamma(t_0)$ 以 $%5Cgamma%20%5Cleft(%20t_0%2B%5CDelta%20t%20%5Cright)%20-%5Cgamma%20%5Cleft(%20t_0%20%5Cright)%20$ 为半径的圆形区域在 $D$ 内，这意味着 $%5Csup%20A%5Cge%20t_0%2B%5CDelta%20t$ ，矛盾