使用一个固定窗口在图像上进行任意方向上的滑动，比较滑动前与滑动后窗口中的像素灰度变化程度，如果存在任意方向上的滑动都有着较大灰度变化，那么就认为该窗口中存在角点。

上图中A是角点，B不是角点，如果用一个小窗口(蓝色)在点A处滑动，无论朝哪个方向走，窗口内的像素值都会发生明显的变化，比如窗口往左，那白色像素就越多，红色越少；但是对于B点，无论朝哪个方向滑动，窗口内的像素不变。进一步地有：

如何计算图像的梯度？

一副图像可以看做一个离散的二元函数，行列索引分别表示x坐标和y坐标，每个像素点的灰度值代表函数值。根据连续二元函数的偏导数计算方法有：

但图像是离散的，没有办法使delta x和delta y趋于0，最小只能取1，所以上式可以转换为：

所以对图像的求导相当于对每个像素点做差分运算。上面那种为前向差分，根据所列的求导公式的不同还可以是中心差分：

显然中心差分就相当于用卷积核[-1,0,1]对图像做卷积（忽略系数1/2不影响算法）。比如求图像在（1,1）位置对x方向的偏导数，就等价于用该卷积核去卷积红色窗口。

Sobel卷积核

对图像某个区域使用Sobel核进行卷积相当于对中心点进行滤波和求导。

比如上图，对3乘3区域用Sobel卷积核进行卷积可以分解为滤波操作和求导操作。滤波操作就是对p22左边的元素p21结合左上p11和左下p31进行加权求和得到新的左边元素，对p22右边的元素p23结合右上p13和右下p33进行加权求和得到新的右边元素。

滤完波后进行中心差分：

上面两步的效果就等价于一个Sobel核。

Gaussisan卷积核

比如利用前向差分求点p33的梯度，可以先用高斯核W对以p33为中心的窗口做卷积，再对以p34为中心的窗口做卷积，然后作差即可。

可以进一步将上式写成下面这种形式：

注意这里的x,y是对卷积操作的窗口区域进行索引的，起始索引均为0，虽然看起来f(0,0)表示图像(0,0)位置的元素，但这里就是表示窗口的第一个元素。

如何计算图像任一方向的梯度？

根据二元函数方向导数的定义有：

所以向量(u,v)只有上图所示的8种组合。忽略分母，方向导数可以写为：

角点检测算法

目标：计算图像每个像素点的方向导数，找出在各个方向方向导数都比较大的点。

角点计算的基本数学公式：

这个公式就是建立在方向导数的基础上，平方的目的是为了消除负号，放大误差。

将x,y视作常数，E是关于u,v的函数。

所以近似之后，所要研究的函数E(u,v)就变成了一个二次型函数。

M是一个实对称矩阵。对M进行标准化后，E(u,v)可以写成：

二次型函数在xoy平面上的等高线是歪着的椭圆，标准化之后的等高线是正着的椭圆，等高线越往内高度越低，越往外高度越高。

椭圆的形状由矩阵M的两个特征值控制，长轴和短轴的长度分别和特征值成反比。

如果函数E在平面上的等高线如上图，长轴远大于短轴（或者短轴远大于长轴），可以发现越往短轴移动，高度变化比较显著，而往长轴移动，高度变化较为微弱。

也就是说：(u,v)指向的方向如果是短轴方向，那函数值E就较大，会比取值指向长轴方向的函数值大得多。

如果等高线的长轴和短轴比较接近，如下图：

我们的目标是：找出往任意方向移动，函数值E都比较大且差不多的点，这正可以体现在函数等高线的长短轴长度上。

总结为如下图像：

1. 当两个特征值差异很大时，意味着相同长度的(u,v)向量，朝着一个轴的函数值和朝着另一轴的函数值E差异很大，即梯度变化差异很大。表明是边缘像素点。

2. 两个特征值都很小，函数值E相近且都很小，即沿任意方向梯度变化微弱。表明是灰度均匀区域。

3. 两个特征值都很大，函数值E相近且都很大，即沿任意方向梯度变化显著。表明是角点。

如何定量地描述这种关系？

R函数的形状就如马鞍面：

非极大值抑制