【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第二章三角形——三角形和它的内角和

§2-1三角形和它的元素

【01】在算术里我们已经学过，由不在一直线上的三条线段所围成的封闭图形叫做三角形。三角形有三条边和三个角。三角形的边和角都叫做三角形的元素。

【02】三角形是我们经常碰到的图形，如屋架、桥梁、起重机的结构里有三角形，电杆的支架里有三角形（图2·1），竹篮、竹匾的编结花纹里也有三角形。

【03】我们用放在三角形顶点的三个大写字母来表示三角形，为了省写“三角形”三字，通常用符号“△”来表示，例如图2·2的“三角形ABC”可以写成“△ABC”。

【04】三角形的边，通常用和它所对的角的顶点相同的小写字母来表示。例如，在图2·2中，BC 边对着角 A，就用小写字母 a 来表示；CA 边对着角 B，就用小写字母 b 来表示；同样 AB 边对着角 C，就用小写字母 c 来表示。

【05】如果延长三角形的任意一边，我们就得到这个三角形的一个内角的邻补角，这样的角叫做三角形的外角。例如图2·3(1)的 ∠CBP 就是 △ABC 的一个外角。一个三角形的每一个顶角都有两个邻补角，如图2·3(2)的 ∠1 和 ∠2 都是 ∠BAC 的邻补角，而且 ∠1＝∠2；∠3 和 ∠4 是 ∠ABC 的邻补角，且 ∠3＝∠4；∠5 和 ∠6 是 ∠ACB 的邻补角，且 ∠5＝∠6  。也就是说：一个三角形每一个顶角的两旁有 2 个外角，它有 3 个顶角，因此共有 6 个外角。

【06】因为连结两点间的线段是所有连结这两点的线中最短的，而且三角形的任何一边都是一条线段，由此得出下列性质：三角形中任何两边的和都大于第三边。例如，图2·2中，AC＋BC＞AB  。

【07】如果从这个不等式的两边各减去 BC（设AB＞BC），我们得到 AC＞AB－BC  。

【08】由此得出下列推论【由于某一性质的成立，直接推得的结论，通常叫做推论，推论也是定理】：三角形的任何一边大于其他两边的差。

【09】三角形可以根据边的长短来分类：

【10】三边各不相等的三角形（图2·4），叫做不等边三角形。

【11】有两边相等的三角形（图2·5），叫做等腰三角形。

【12】三边都相等的三角形（图2·6），叫做等边三角形。

【13】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，其他一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫做底角。

【14】我们也可以将等边三角形作为等腰三角形的特例，就是底边和腰相等的等腰三角形。

例.等腰三角形的周长（三边长度之和）等于 38 厘米，又知它的底边是周长的 2/5，求它的腰长。

【解】因为这等腰三角形的底边是周长的 2/5，因此两腰之和应等于周长的 (1－2/5)  。

        ∴ 腰长＝38(1－2/5)÷2＝38×(3/5)÷2＝(114/5)÷2＝114/10＝11.4  。

        答：腰长为11.4厘米。

习题2-1

1、指出下图中有几个三角形，并用字母把它们记出来。【有8个三角形，即△AOB，△BOC，△COD，△DOA，△ABC，△ADC，△ABD，△CBD】

2、下列长度的三条线段，你看哪几个是可以构成一个三角形的，哪几个是不可能构成三角形的，为什么？

(1) 5cm，12cm，13cm；【因为5＋12＞13，能】

(2) 3dm，8dm，12dm；【因为3＋8＜12，不能】

(3) 2.5m，3.7m，6.1m；【能】

(4) 4cm，17cm，2.3cm；【不能】

(5) 1dm，2dm，3.1dm  。【不能】

3、三条线段的长度之比等于：(1) 2:3:4；(2) 3:4:7；(3) 1:2:5；(4) 7:10:2；哪几个可以组成一个三角形？为什么？【(1)能，(2),(3),(4)都不能】

4、等腰三角形一腰的长，至少要大于它底边的多少？为什么？[提示：应用三角形两边之和大于第三边]【一腰大于底边的一半】

5、已知等腰三角形的周长等于 1 米，它的底边等于 0.4 米，求腰的长。【腰长0.3m】

6、画出一个等边三角形，使它的各边都等于 3 厘米（用圆规和直尺）。

7、三角形的周长等于 36 厘米，它的三边的长度之比是 2:3:4，求各边的长。【8cm,12cm,16cm】

8、等腰三角形的周长等于 32 毫米，它的腰比底长 4 毫米，求各边的长【腰＝12mm，底＝8mm】。