《几何原本》命题4.9【夸克欧氏几何】

命题4.9：

可作一已知正方形的外接圆

已知：正方形ABCD

求：作正方形ABCD的外接圆

解：

连接AC,BD，交点记为点E

（公设1.1）

证：

∵四边形ABCD是正方形

（已知）

∴AB=AD,BC=CD

（定义1.22）

∵AC公用

（已知）

∴△ABC≌△ADC，∠DAC=∠BAC

（命题1.8）

同理可证，∠ABD=∠CBD

∵正方形ABCD中，∟BAD=∟ABC

（公设1.4）

∴∠DAC+∠BAC=∠ABD+∠CBD

（公理1.1）

∴2∠DAC=2∠ABD

（公理1.1）

∴∠DAC=∠ABD

（公理1.3）

∴AE=BE

（命题1.6）

同理可证，BE=CE，CE=DE

∴AE=BE=CE=DE

（公理1.1）

∴以点E为圆心，AE,BE,CE,DE任意一个为半径作圆ABCD经过其余的点

（公设1.3＆定义1.15）

∴圆ABCD是正方形ABCD的外接圆

（定义4.6）

证毕

此命题在本卷中未被使用

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