微分几何笔记|1曲线

• 目的

• 参数曲线

       定义如下，可以理解为一个由映射对应的从一维区间（a,b）映射到三维空间点（x,y,z）的集合。

       可以将空间中的曲线用参数化的(x(t)，y(t)，z(t))描述，这样我们就把三维的曲线变成了一维的形式。其中这个t我们就说是曲线的参数

• 弧长

  对于可微的参数曲线α(t)，求导然后对绝对值做积分

如果参数t刚好是弧长时，|α‘(t)|恒等于1，也可以认为速度向量的长度恒等于1

• 以弧长为参数的曲线的局部理论

       这一部分的目的是建立一个描述曲线局部性质的框架，以便于用数学方式探究曲线的性质。由上一部分，我们将曲线的弧长s设为参数，则有曲线α(s)：

则定义出来了曲率（curvature）|α''(s)|，由于|α'(t)|恒等于1，则α''(s)表示了α'(t)方向的改变速度。在s处曲率越大，则在该处曲线离开切线的速度越快：

而且曲率的方向与曲线的定向无关。与α''(s)同方向的单位向量 n(s)，成为在s点的主法向量，用t(s)=α'(s)表示在s点的单位切向量。主法向量与单位切向量定义密切平面，定义单位向量b(s)=t(s)×n(s) 是与密切平面正交的向量，称为从法向量。由于b(s)为单位向量，则长度|b'(s)|度量了在s的一个邻域中，曲线以什么痒的速度离开密切平面。至此，描述曲线的框架搭建好了，称为Frenet框架。

• Frenet公式

  主法向量上可由方程α''(s)=k(s)n(s)，定义k(s)：曲率

  从法向量上有 b'(s)=τ(s)n(s)（也有为-τ(s)的），τ(s)：挠率，细节推导如下图

  单位切向量上用t(s)=α'(s)，则t'(s)=k(s)n(s)，又有n=b×t，n'(s)=b'(s)×t+b(s)×t'(s)=-τb-kt

总结有：

最后今天也是成为up主的1111天 纪念一下