北大丘维声教授清华高等代数课程1080P高清修复版(全151集)

该r阶子式的阶数即为该矩阵的秩

补：①截断无关，加长无关

②加长相关，截断相关

[指在一个行向量或者列向量里增加或者减少数。不是在一组向量里面增加或者减少向量]

对比：①向量组部分相关，整体相关

②向量组整体无关，部分无关

应用：用于判断非方阵型矩阵的线性相关性（截断无关，则加长无关……）

线性相关性的判断方法：

①定义判断

②将行向量依次作列（写成齐次线性方程组的形式，系数是否全为零决定该线性方程组是否零解)构成矩阵，判断矩阵的秩是否和未知数个数相等。

③行列式

齐次线性方程组解的结构

α是行向量，记作（a1,a2,……an）

取每一个α的第i个数与每一个x相成，得到一个方程组。每一个x所组成的解是该解空间的一个向量。

问题：找出该w向量空间的基

定理：非齐次线性方程组的解集＝齐次线性方程组的任意解和该非齐组的一个固定解的和所组成的集合

证明：①必要性：分别表达非和齐然后相加②充分性：找出η，表达出η，然后证明

相似矩阵的性质：

①A和B相似，则它们的行列式和秩相等

②相似矩阵的迹相等

矩阵的行列式，秩和迹称为相似关系下的不变量

矩阵的迹的定义：主对角线上的元素相加

记为：tr

矩阵的迹的运算律：

不懂这个等价，但大为震惊

正交变换的定义：

满射，且保内积不变的变换。

①实质：一种保向量长度不变的线性变换

保实内积不变

②性质：保向量长度，两非零向量夹角，向量内积不变,保正交性不变，保距离不变

可推出其为线性变换，且是双射，有逆映射。即为同构映射。保距同构

证明两向量相等的方法：相减为零向量

自己和自己的内积为零

证明线性映射是单射：

①像一样，推出原象一样

②ker的核＝O

命题一：正交变换等价于v到v的保距同构

命题二：正交变换的逆变换也是正交变换

两个正交变换的乘积也是正交变换

有限维欧式空间中证明正交变换等价于保向量内积

有限维空间的线性变换，单射=满射