【高...考...物理】分而治之2—洛伦兹力冲量深入：正则动量、对称性
承接上文：
先回答上次留下的一个问题：
如图，电子以初速度v进入场强为E的偏转电场，离开电场后进入有左边界的匀强磁场，磁感应强度B。试分析电子重新回到磁场左边界时向上偏移距离d与初速度v的关系。
{解} 由洛伦兹力冲量特点知： ，那么我们就得到
。可以发现，
，且y和电场强度无关。这个基本模型在很多压轴大题里面都有体现，有时直接使用就可以整体化的解决问题（而非分步繁琐地考虑）
比如此题：
第二问就直接使用洛伦兹力冲量可以迅速找到思路。
总之，“分而治之———洛伦兹力冲量”的思想在磁场中很有用。
（回归标题）
经一位前物竞大佬的点拨，这个“洛伦兹力冲量”好像本质是“正则动量”，于是笔者尝试探究了一下“正则动量”。
（可能部分与高中知识无关，但可以对此了解更加深刻）
正文开始
诺特定理(Noether's theorem)
奇异积分方程的基本定理，理论物理的中心结果之一。
诺特定理指【任何关于物理系统作用量的微分对称性都有一个对应的守恒律】
上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。
这个定理的内容、表述和证明很显然 (远超出)笔者的知识水平，并且现在也无法一蹴而就。但首先列出这个定理，是因为它揭示了物理学深层次的本质——三大守恒定律动量、能量、角动量守恒跟相应的时空对称性的关系。下面解释来自百度百科，笔者觉得讲得浅显易懂，值得看一看！
【空间均匀性（平移对称性）与动量守恒】空间是均匀的，也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一样的，物理定律在空间平移（不如从地球移到月亮上）变换下是不变的，由诺特定理可以得到存在这么一个守恒量——动量。
【空间各项同性（旋转对称性）与角动量守恒】空间是各向同性的，也就是空间没有一个特殊的方向，我们任意取坐标轴的方向，虽然物理量的数值在各个坐标系当中可能是不一样的，但物理定律所对应的方程是不变的，比如牛顿运动定律F=ma（矢量形式）在空间旋转变换下是不变的，我们把坐标轴旋转，虽然矢量的各个分量变了，但总的方程F=ma（矢量形式）是不变的，这样，在牛顿力学当中，就存在着一个跟空间各向同性相对应的守恒量——角动量。
【时间均匀性（反演对称性）跟能量守恒】同样，由时间均匀性，也就是过去、现在、未来物理定律是一样的，由诺特定理可以得出存在这么一个守恒量——能量。
由此可以看出，从本质上来说，只受洛伦兹力的带电粒子“正则动量守恒”恰是因为磁场的平移对称性。进一步的，上面还提及了正则角动量守恒。我们可以推一下正则动量守恒和正则角动量守恒（B垂直纸面向内）。
正则动量守恒（正负号与所建的为左右手系有关）：
，
。
那么两边对时间进行积分有（只列出其中一个）：
,
为常数
移项得： ，
。
这里的 也就是我们所称的一种“正则动量”，两个物理量都是守恒量。
正则角动量守恒（如下图）：
，
两边积分有：
与上面一样， 也是我们所称的一种“正则角动量”。
广义动量&角动量
为什么刚刚说的都是呢？这就与分析力学里的广义动量和角动量守恒有关了，涉及到拉格朗日方程等。笔者作为“门外汉”，也只能搬运一下，以作了解......<_<
广义动量（使用欧拉-拉格朗日方程）
广义角动量
所以说，刚刚推导的，只是特定情况下的守恒。可以说颇有“管中窥豹”之感。<_<
并且正则动量守恒的推导好像也不是这么简单（简化了而已），实际上要从哈密顿量出发（与拉格朗日量无本质区别），参考赵凯华教授论文。
【A】是磁矢势！
总的来说，我们使用的洛伦兹力冲量背后是极其深刻的道理。这篇专栏整了很久，虽然现在看可以说一头雾水，但在这一步步探究中，总还是收获了很多乐趣，也不负此行一场吧！<_<
