量子力学是什么？

量子力学是什么？“我想我可以有把握地说，没有人懂得量子力学！” ——费曼。所以在我们高谈量子力学之前，我们需要先弄清楚量子是什么！

量子是什么？是实实在在的粒子，还是不同振动频率的波？波动说和粒子说争论了300多年。第一次波粒之争以牛顿为首的粒子说派的胜利告终。但是，按照粒子说的解释，牛顿连自己的牛顿环都解释不了。

1801年，托马斯-杨的用简单的双缝干涉实验证明光是一种波。在这个基础上，麦克斯韦建立了经典电动力学。波动说可以逻辑自洽地解释双缝干涉实验。第二次波粒之争以波动说派的胜利告终。

托马斯-杨的双缝干涉实验非常简单，但是，这个简单的实验对粒子说的理论（量子力学和相对论）来说却是一个无法逾越的天堑。100多年来，无数的粒子学家提出了各种各样的假设来解释一个粒子如何同时通过两条狭缝并产生干涉，可惜，没有一个粒子说的解释能够自洽！

有些人很聪明，他们会说，量子具有波粒二象性，双缝干涉可以用量子具有波动性来解释。是的，这种“方法”的确非常聪明。但是，当20世纪70年代末弦理论横空出世以后波粒二象性这个名词就过时了，弦理论认为量子既不是波，也不是粒子，而是不同振动模式的弦。也就是说，目前量子是什么的标准答案是量子具有波粒弦三象性。波粒二象性已经过时多年了。但是，现在还有人说量子具有波粒二象性。

既然有人说量子具有波粒二象性，那我们就来聊聊量子的另一面。

经典的延续：建立波动说的量子力学 （量子波动力学）

1913年，尼尔斯·玻尔提出原子中核外电子运动的量子化条件，原子中的电子只有可能在某些特定的轨道（量子化轨道）上运动，以此解释了氢原子光谱。玻尔的量子化条件没有理论基础，完全是人为规定的。为什么玻尔的电子的轨道的变迁是非连续变化的？

1919～1922年，法国物理学家L·布里渊（L.Brillouin）提出了一个解释玻尔量子化条件的理论，试图解释存在分立的定态轨道问题。布里渊把电子和波作为一个整体进行研究，设想在原子核周围存在着一层以太，电子在其中运动掀起波，这些波相互干涉在原子核周围形成驻波，即电子是一种以太驻波。这种波互相干涉，只有在电子轨道半径适当时才能形成环绕原子核的驻波，因而轨道半径是量子化的。

20世纪20年代，随着爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论逐渐深入人心，挺过迈克尔逊-莫雷实验结果打击的以太终于开始被主流物理学家们所遗弃。不过，布里渊的这一思想被法国理论物理学家路易·维克多·德布罗意（Louis Victor de Broglie）部分接受了，但是德布罗意认为，导致玻尔轨道的原因必定藏在原子内部，而不需要以太这种东西。于是，他把以太的概念去掉，把以太的波动性直接赋予电子本身，也就是说，把波动性留下，抛弃波动的媒质，把波抽象化，他的电子波是一种凭空振动的波。

问题是，普朗克1900年提出的“量子化”的概念是黑体由以不同频率作简谐振动的振子组成的，其中电磁波的吸收和发射不是连续的，而是以一种最小的能量单位ε=hν为最基本单位而变化着的，理论计算结果因此才能跟实验事实相符，这样的一份能量ε，普朗克把它称为能量子，其中ν是辐射电磁波的频率，h=6.62607015×10-34 J·s，即普朗克常数。也就是说，“振子”的每一个可能的状态以及各个可能状态之间的能量差必定是hν的整倍数。普朗克并没有说这个能量子仅指的是粒子，相反，他是以太和波动说的支持者。普朗克不仅认为能量子是一种波，他甚至认为：“万物皆是波！”

德布罗意对几百年来波动说和粒子说各执一词充满了困惑，他无法理解，为什么对于光来说，需要有两种相互矛盾的学说，即波动说和粒子说，为什么原子中的电子只有可能进行某些运动，而按经典概念它应有无穷多种运动。他认为光子理论不能令人满意，因为它是用ε=hν这个关系式来确定光微粒的能量，其中包含着频率ν。可是纯粹的粒子理论不包含任何定义频率的因素。对光来说，单是这个理由就需要同时引进粒子的概念和周期的概念。确定原子中电子的稳定运动涉及到整数，而至今物理学中涉及到整数的只有干涉现象和本征振动现象。他认为不能用简单的微粒来描述电子本身，而应当赋予它们以周期的概念。于是他得出一个结论，对于物质和辐射，尤其是光，需要同时引进微粒概念和波动概念，即波粒二象性。到了1923年夏天，德布罗意把波粒二象性加以推广，使物质粒子（特别是电子）也包括在内。

1923年9月至10月间，德布罗意连续在《法国科学院通报》上发表了三篇有关波和量子的论文。 第一篇题目是《辐射——波与量子》论文中，他提出实物粒子也有波粒二象性，认为与运动粒子相应的还有一正弦波，两者总保持相同的位相。后来他把这种假想的非物质波称为“相波”。他考虑一个静质量为m0的运动粒子的相对论效应，把相应的内在能量m0c²视为一种频率为v0的简单周期性现象。他把“相波”的概念应用到以闭合轨道绕核运动的电子，推出了玻尔量子化条件。在第二篇题为《光学——光量子、衍射和干涉》的论文中，德布罗意提出如下设想：“在一定情形中，任何一个运动的质点能够被衍射。穿过一个相当小的开孔的电子群会表现出衍射现象。正是在这一方面，有可能寻得我们观点的实验验证。在第三篇题为《量子、气体运动理论和费马原理》的论文中，他进一步提出，只有满足位相波谐振，才是稳定的轨道。在1924年的博士论文《关于量子理论的研究》中，他更明确地写下了：谐振条件是l=nλ，即电子轨道的周长是位相波波长的整倍数。

三篇论文发表后，德布罗意开始撰写博士论文，详细阐述了他在以前发表的几篇论文中已经提出的量子领域中所有实物粒子都具有波动性的假设。他把这种量子波称为位相波。德布罗意认为，任何运动着的物体都伴随着一种波动，而且不可能将物体的运动和波的传播分开，这种波称为位相波。存在位相波是物体的能量和动量同时满足量子条件和相对论关系的必然结果。德布罗意考虑静止质量为m、相对于静止观察者的速度为v的粒子，他假设粒子是周期性内在现象的活动中心，它的频率ν=ω/h，h是普朗克常数，ω是粒子的内在能量。以狭义相对论原理和严格的量子关系式为基础，德布罗意得出：位相波的波长是λ=h/p，h是普朗克常数，p是相对论动量，这就是著名的德布罗意波长与动量的关系，该式与ω=hν一起就是所谓的爱因斯坦-德布罗意关系式（实际上是普朗克-德布罗意关系式。需要注意的是，德布罗意并没有明确提出波长λ和动量p之间的关系式：λ=h/p（h即普朗克常数），只是后来人们发觉这一关系在他的论文中已经隐含了，就把这一关系称为德布罗意公式）。此外，德布罗意把相位波的相速度和群速度（能量传递的速度）联系起来，证明了波的群速度等于粒子速度，确定了群速度与粒子速度的等同性。他的这些研究成果形成了比较完整的物质波理论。

德布罗意当时并没有明确提出物质波这一概念，他只是用相波或位相波的概念，认为可以假想有一种非物质波。他在博士论文结尾处特别声明：我特意将相波和周期现象说得比较含糊，就像光量子的定义一样，可以说只是一种解释，因此最好将这一理论看成是物理内容尚未说清楚的一种表达方式，而不能看成是最后定论的学说。

可是相波或位相波究竟是一种什么波呢？在答辩会上，会议主持人佩兰曾问：电子的波动性可以用什么方法检验？德布罗意答道：“通过电子在晶体上的衍射实验，可能会出现干涉、衍射图样。”这等同于说他的电子是一种典型的波，只是没有以太。

1929年，德布罗意在他的诺贝尔获奖演讲中强调了物质波理论的意义，他说：“可见，描述物质的性质也像描述光的性质一样，要同时涉及波和粒子。不能再认为电子是电的单个粒子，它应当是和一个波缔合的，而且这个波并非虚构，它的波长可以测量，它的干涉现象可以预言。因此，有可能预言实际上还未被发现的所有现象。自然界的波粒二象性概念表述起来多少有些抽象，但它已成为整个理论物理学发展的基础，而且将来是这门科学未来发展的基础。”

1925年，美国物理学家克林顿·戴维森（Clinton Joseph Davisson）和雷斯特·革末（Lester Germer）在进行电子在镍晶体中的散射实验时，首次发现了电子在晶体中的衍射现象。当他们了解到德布罗意的工作以后，于1927年进行了更为精确的实验。实验结果与德布罗意波的预言完全符合——电子在晶体中产生了衍射现象，从而证实了德布罗意的电子波动性假说。1927年，英国物理学家G·P·汤姆逊（Thomson Joseph John）也进行了电子衍射实验，实验发现电子的衍射图案与X射线衍射图案非常接近，证实电子确实具有波动性（戴维逊和G·P·汤姆逊分享了1937年的诺贝尔奖金）。正如德布罗意所言，一切物质（包括光、电和微观粒子）都具有波粒二象性。德布罗意用“相波”（物质波）来描述光和电子波获得巨大成功，在波动说与粒子说的拉锯战中将胜利的天平朝向波动说一方拉动，更准确地说，德布罗意只是将本已因为爱因斯坦的光电效应解释、J·J·汤姆逊的电子和康普顿效应而拉向粒子说的天平拉回到中间位置。波动说与粒子说不再是“非胜即败”的死敌，波动性与粒子性被德布罗意用波粒二象性初步整合起来。

需要注意的是，德布罗意的“物质波”只是一种抽象的波，他不仅拒绝了以太，也没有其他实质性的波动媒质。严格上讲，德布罗意的物质波只是没有任何波动媒质的波。既然空间空无一物，没有物质，那么是什么在波动？空间中没有物质，就无所谓什么物质波。德布罗意和薛定谔这两位先贤在解析波粒二象性的原理上功败垂成的根本原因是他们的“物质波”根本没有物质。还有一个问题，德布罗意的相位波的波长是λ=h/p，h是普朗克常数，p是相对论动量，这个动量也会造成无穷大的缺陷。

不过，德布罗意的波粒二象性是以波动说为基础来融合粒子说的观点，他虽然拒绝以太，但是，德布罗意仍然属于经典物理学思想体系的一员。虽然量子力学的粒子学家们把德布罗意归于量子力学的重要奠基人之一，但事实上，德布罗意却是波动说量子力学的奠基人之一。粒子说的量子力学虽然认同和推崇波粒二象性，但他们这个波粒二象性只有粒子图像。

德布罗意的“相波理论”开创了新的量子力学发展方向，并成为薛定谔建立波动力学的契机。薛定谔头脑中灵光一闪：

如果我们接受了光的本性的第三个理论——光量子假说，认为经典理论中其本质是波的光或辐射具有粒子结构，则这种波粒二象性是否也相应地适用于物质粒子，是否能由哈密顿光学——力学相似得出某种与波动光学相应的波动力学，即从物质粒子的波动结构来解释量子理论在物质结构方面的困扰呢？……物质粒子特别是电子的运动也必然为一频率由E=hv决定的周期现象所伴随，并且只有通过研究这种周期现象的传导才能了解粒子连续位置的信息，这种周期现象他称之为“相波”……德布罗意的“相波理论”使玻尔的定态假设得到了解释：只有轨道周长为相波长整数倍的轨道才是稳定的；它突破了经典的物质概念，提出物质粒子也具有波动性质，并预言电子束穿过小孔时，会像光一样具有衍射现象，其波长为λ=h/p即著名的德布罗意关系式。……因为传统的物质概念根深蒂固，海森堡等人后来构造的矩阵力学却是从坚持粒子图像和可观察量出发，他们很难放弃自己的基本立场，去接受一个初出茅庐的物理学家设想的如此奇异的相波，只是把它看作纯粹的凭空杜撰的数学上的虚构。

1926年，薛定谔从经典力学和几何光学间的类比，提出了对应于波动光学的波动力学方程。他参考爱尔兰数学家、物理学家及天文学家威廉·哈密顿爵士（Sir William Rowan Hamilton）先前关于牛顿力学与光学之间的类比方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于几何光学；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程来描述这个波动行为，而薛定谔给出了这个方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程，用这个波动方程描述微观粒子的运动状态，由此奠定了波动力学的基础。他将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔把德布罗意的“相波”和伴随粒子合二为一，用不同振动频率波的“波包”来代替“相波”和伴随粒子。用“波包”来表征粒子，解决了波与粒子的转换难题，这是一个巨大的进步。

德布罗意把量子化条件处理为“相波的谐振”，薛定谔用他所熟悉的连续介质力学来充实德布罗意的相波，认为能级应作为“本征值问题”而由一般原理中自然导出。薛定谔在几年前把玻尔关于广义相对论的工作应用于轨道电子时，他就得出过一个“量子化轨道上单个电子的值得注意的性质，”即电子绕核运动是一种周期现象，其形式与德布罗意对量子化条件的“相波谐振”解释有惊人相似。1925年，薛定谔在《关于爱因斯坦的气体理论》中提出：

舍弃粒子模型，不是把气体当作单个粒子的集合，而是应用1910年德拜推导普朗克辐射定律的方法，用经典统计把气体作为具有特征频率的振动模式的叠加，并首次运用德布罗意的相波理论计算每个模式的振动频率，得出与爱因斯坦粒子气体模型相符的结果……薛定谔不再把“相波”作为伴随粒子运行出现的一种周期现象、一种假想的波，而认为这种波是物理上真实的、实在的波——物质波，把粒子还原为相波的波包——“物质波理论”；不再把这种物质波作为原子结构中绕核运行、形成稳态轨道的运行处理，而看作是为边界条件特征化的驻波，从而克服了高曲率折射困难——“驻波图像”；而最为关键的是，由于上述两点进展，薛定谔很自然地立即着手去寻找支配这种实在的波、特别是电子驻波的波动方程，从而踏进了波动力学理论框架的门槛。

具体到电子，薛定谔的“驻波图像”是一个环绕着原子核振动的闭合的波环（驻波），这是一个稳定轨道的“驻波图像”。这点非常重要，这完全不同于粒子说的电子云概念。

从行波到驻波，从“相波”到“物质波”，是薛定谔发展德布罗意的思想的关键一步。一旦认识到这种波动性质是实在的，那么去寻找表述这种波的性质和规律的波动方程就是顺理成章的。薛定谔用“物质波”替代了“相波”，波动方程也可以描述微观粒子运动状态，但是，是什么物质在波动呢？薛定谔给出的这种“物质波”的“实在性”其实也不具有真正意义上的实在性，同德布罗意一样，薛定谔这个物质波也没有具体的波动媒质。当时，以太已经被抛弃，一时只能回避空间波动媒质的性质问题，薛定谔的波动方程只能以数学语言来表达在空间以特定形式传播或振动的波的性质，给出波函数随空间坐标和时间变化的关系。通过对带有特定的边界条件的波动方程求解能够深入刻画波的传播规律来认识波的性质。

薛定谔的方程是经典的波动方程，是线性二次偏微方程即双曲面型偏微方程的一种。 要了解薛定谔波动方程波长与轨道的关系，我们把波与琴弦的振动做个类比，如果电子的波长是2毫米（只是示意长度），那么，琴弦的长度只能是波长的整倍数，只可能4毫米、6毫米、8毫米或是10毫米，而不可能是5毫米、7毫米或9毫米，因为非整倍数意味着只有半个波，这显然是不可能的。如果这个琴弦首尾相接形成某种环状轨道，就像薛定谔描述的氢原子电子波轨道，那么这种波动轨道的长度只能是波长的整倍数，“环状驻波”的不同波长意味着它不同的“波环半径”，即电子的“轨道半径”。也就是说，这种“环状波”的不同波长就意味着不同“高度”的轨道。

玻尔被认为是一代量子论宗师，首开原子结构量子论的研究，也首倡用量子跃迁概念解释光谱学实验规律，在他和以他为代表的量子理论研究群体看来，量子跃迁概论揭示了原子客体行为的本质特征。他不能同意薛定谔用波来取代量子跃迁的企图，更不能容忍在量子领域回到经典理论（经典物理学）描述方法的“老路”上去。玻尔和薛定谔展开了激烈的争论。

薛定谔力陈量子跃迁概念与经典理论和定律的矛盾，薛定谔用本征函数解释了波长与轨道的关系，他认为对惯性粒子而言，有无限条可能的轨道，而没有一条轨道比其他轨道更加优越，没有任何力量可以约束粒子（电子）必须选择特定轨道（这是粒子说解释无法回避的逻辑缺陷）。

玻尔用粒子说的图像描述电子具有整倍数的轨道，但却无法解析电子为什么具有整倍数的轨道。电子具有内在的振动频率，这个关键特征对玻尔的粒子说思路是致命的，玻尔始终无法解释频率问题，所以不可能解释轨道之间具有整数倍的频率能级差现象。玻尔的量子轨道跃迁过程的重要特征是它的概率性，例如在自发跃迁过程中，若初态时有许多原子处于某一激发态，则跃迁过程的概率性表明人们无法预言其中某个原子自发跃迁到基态的确切时刻。或许有些原子跃迁发生得早些，而有些发生得迟些。这种概率性解释证明玻尔原子模型拒绝了时空的表述和定律支配，完全是牵强附会的主观臆想。

玻尔强调量子跃迁涉及的是微观的间接的客体，当用表达经典的直观的客体的概念加于它们时，必然会显得不充分，但这并不证明量子跃迁不存在。而当时，人们认为波动说的波的连续性不能解释电子轨道跃迁（事实上用波动力学解释非常简单），而没有注意到玻尔的电子轨道跃迁只是对现象的描述，玻尔基于粒子说的解释中根本没有轨道跃迁的内在原理。奇怪的是，人们并不认同薛定谔的氢原子电子驻波模型，但是却接受了他用于描述这个电子驻波的波动力学方程。这是由于薛定谔的波动力学方法从理论上看更立足于普适的力学原理，并建立了普适的基本运动方程。从实践上讲更为简洁，易于掌握，为物理学家所熟悉，因而易于为人们所接受。薛定谔用经典（经典物理学）的方法，用易于理解的概念，解决了矩阵力学中极其复杂且难以解决的量子力学问题。他提供了处理量子问题的形式优美巧妙，方法简洁有效的数学形式，取代了计算方法困难复杂的矩阵力学方程，提供了表述微观客体运动规律的基本方程。时至今日，在量子力学、场论等教科书和实际运用中，使用的都是薛定谔的波动力学波函数方程。

第三种量子力学

我们知道，光、电子和亚原子粒子都是量子，因此，所有解析量子的物理理论都属于量子力学的范畴，严格上讲都可以称为量子力学。我们知道，经典物理学有经典光学和经典电动力学，还有解析亚原子粒子的核物理学，这三个理论解析的都是量子，因此，都可以称之为量子力学。也就是说，经典物理学包含了一个量子理论，理论涵盖了量子领域，面对这个真相，还有人敢说经典物理学只是一个宏观领域的物理理论吗？

很多人对弦理论的了解仅仅知道有弦这个概念，很少人知道弦理论是一个地地道道解析光、电子和亚原子粒子的理论，事实上，弦理论和量子力学的研究领域完全重叠。换句话说，是对同一事物的两种不同的解释。

根据弦理论：宇宙的基本构成要素不是点粒子，而是有点像细橡皮筋的上下振动的一堆丝线。……根据弦理论，弦是构成原子的粒子的超微观组成元。弦理论的弦小的可怜，平均大约是普朗克长度的尺寸。所以即使我们用最灵敏的仪器来检查，它们看起来也像点一样……弦是真正基本的东西——是“原子”，是古希腊人本来的意义上，也就是不可分的基元……弦就是弦，没有比它更基本的东西，所以不能把它描写成有别的任何物质组成的东西……共振是那些峰谷正好在弦的两个端点间张开的波动模式……弦理论中的弦也有类似性质，在这里，弦可能产生的共振模式是在它的空间范围内恰当展开的峰和谷。像琴弦的不同振动模式奏响不同乐音那样，一根基本弦的不同振动模式生成了不同的质量和力荷……依照弦理论，一个基本“粒子”的性质——它的质量和不同的力荷——是由它内部的弦产生的精确的共振模式决定的。弦与粒子质量的关联很容易理解。弦的某个振动模式的能量取决于它的振幅（峰谷的最大相对位移）和波长（相邻两个峰或谷之间的距离），振幅大的和波长小的，能量较大……大能量意味着大质量，大质量也就是大能量。质量较大的粒子所具有的弦振动较剧烈，质量小的粒子所具有的弦振动较轻柔。

量子力学有一个粒子标准模型，弦理论也构建了一个弦的标准模型，每种粒子都有一个不同振动模式的弦一对一地替代。简单地说，标准模型里有多少粒子弦理论就有多少种弦来替代。更有甚者，量子力学的逻辑缺陷弦理论也完全“继承”。例如质能公式引起了的无穷大的问题：

因为弦理论中振动弦的张力巨大，它的能量一般也是极高的。弦理论学家认为：张力不同的两根弦，虽然振动方式完全一样，也不会有相同的能量。张力大的弦比张力小的弦有更高的能量，因为赋予它更多的能量，它才能产生运动。振动弦的能量由两样东西决定：振动的准确模式（振动越疯狂，能量越高）和弦的张力（张力越大，能量越高）……我们讨论的要点是：因为最小能量单元正比于弦的张力，而弦的张力很大，所以，在基本粒子物理学的一般尺度上，这个基本的能量单元也是很大的。它们是普朗克能量的倍数。这个量有多大呢？假如我们用爱因斯坦著名的转换公式E=mc²将普朗克能量转化成质量，相应的质量将是质子质量的千亿亿（1019）倍。这个以基本粒子的标准看来庞大的质量，就是普朗克质量，大约相当于一粒沙尘或一百万个细菌的质量。这样，在弦理论的图景中，振动的“弦圈”应的典型质量一般是普朗克质量的整数（1，2，3……）倍。关于这一点，弦理论的“自然”或“典型”尺度（当然也是质量尺度）是普朗克尺度。

解析弦理论很复杂，所以这里只简单举例，说明弦理论也是一种量子理论。事实上，弦理论是一种地地道道的量子力学，而目前的量子力学只有粒子说一个视角，把什么都看成粒子，量子学家们也都自称为粒子学家，因此这个量子力学称为粒子物理学应该更准确。

波动说的量子理论与粒子说的量子理论水火不相容。当弦理论提出量子既不是粒子也不是波而是弦以后，继续将波动说和粒子说的量子理论“统一”成一个量子力学就是一个笑话。事实上，存在3种互不相融的量子理论！哪一种量子理论能代表量子力学呢？因此，量子力学不应特指某一个理论，而只是物理学的一个研究领域。所以，并不存在严格意义上的量子力学这样的一个理论。合理的表述应该是，在量子领域有经典物理学的经典量子理论、粒子物理学和弦理论三个量子理论，这是三个不同的理论体系。

目前理论物理学处于百家争鸣的阶段，没有哪个理论达到终极理论的标准，没有一个理论可以自洽地解释宇宙的所有问题。既然所有理论都不完全正确，那么我们就接受这个现实，以怀疑批判的眼光审视所有的观点或理论，让时间来检验什么是真理。