常系数线性差分方程的解法

2023-04-06 11:51 作者:達生 0人读过 | 我要投稿

递推方程 $a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7Bn%7D$ （1）

称为m阶常系数线性差分方程，其中 $a_%7B0%7D%2Ca_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D%2C...%2Ca_%7Bm%7D$ 为常数， $x_%7Bn%7D$ 为已知数列， $y_%7Bn%7D$ 是待求数列。

若 $x_%7Bn%7D$ 不恒为0，则称式（1）为非齐次线性差分方程；若 $x_%7Bn%7D%5Cequiv%200$ ，则式（1）变为

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3D0$ （2）

称式（2）为齐次线性差分方程，或方程（1）所对应的齐次方程。

一. 线性差分方程通解的结构

定理1：齐次线性差分方程解的叠加原理

设 $y_%7B1n%7D%2Cy_%7B2n%7D%2Cy_%7B3n%7D%2C...%2Cy_%7Bkn%7D$ 是齐次线性差分方程（2）的解，则它们的线性组合

$c_%7B1%7Dy_%7B1n%7D%2Bc_%7B2%7Dy_%7B2n%7D%2Bc_%7B3%7Dy_%7B3n%7D%2B...%2Bc_%7Bk%7Dy_%7Bkn%7D$

也是方程（2）的解，其中 $c_%7B1%7D%2Cc_%7B2%7D%2Cc_%7B3%7D%2C...%2Cc_%7Bk%7D$ 为任意常数。

定理2：非齐次线性差分方程通解的结构

设 $%5Cbar%7By_%7Bn%7D%7D%20$ 是非齐次线性差分方程（1）的解， $y_%7B1n%7D%2Cy_%7B2n%7D%2Cy_%7B3n%7D%2C...%2Cy_%7Bkn%7D$ 是方程（1）对应的齐次方程（2）的解，则 $c_%7B1%7Dy_%7B1n%7D%2Bc_%7B2%7Dy_%7B2n%7D%2Bc_%7B3%7Dy_%7B3n%7D%2B...%2Bc_%7Bk%7Dy_%7Bkn%7D%2B%5Cbar%7By_%7Bn%7D%7D%20$ 也是方程（1）的解，其中 $c_%7B1%7D%2Cc_%7B2%7D%2Cc_%7B3%7D%2C...%2Cc_%7Bk%7D$ 为任意常数。

因此可以得出结论：非齐次线性差分方程通解，等于其对应的齐次线性方程的通解，加上非齐次线性方程的一个特解。

定理3：非齐次线性差分方程解的叠加原理

设 $y_%7B1n%7D%5E*%2Cy_%7B2n%7D%5E*$ 分别是方程

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7B1n%7D$

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7B2n%7D$

的特解，则 $y_%7B1n%7D%5E*%2By_%7B2n%7D%5E*$ 是方程

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7B1n%7D%2Bx_%7B2n%7D$

的特解。

二. 常系数齐次线性差分方程的解法

满足 $x_%7Bn%7D%5Cequiv%200$ 的常系数线性差分方程称为常系数齐次线性差分方程。

以二阶常系数齐次线性差分方程 $a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%3D0$ 为例，其解法如下：

首先求解特征方程 $a_%7B0%7Dr%5E2%2Ba_%7B1%7Dr%2Ba_%7B2%7D%3D0$ ，若方程有两个相异根 $r_%7B1%7D%2Cr_%7B2%7D$ ，则差分方程的通解是 $y_%7Bn%7D%3DC_1r_1%5En%2BC_2r_2%5En$ ；若方程有两个相等根 $r_%7B1%7D%2Cr_%7B2%7D$ ，则差分方程的通解为 $y_%7Bn%7D%3D(C_1%2BC_2n)r%5En$ ，其中 $C_1%2CC_2$ 为任意常数。

推广到m阶差分方程， $a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3D0$ ，其特征方程为 $a_%7B0%7Dr%5En%2Ba_%7B1%7Dr%5E%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dr%5E%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm-1%7Dr%2Ba_%7Bm%7D%3D0$ 。

若方程有m个不相等的根，则差分方程的通解为：

$y_%7Bn%7D%3DC_1r_1%5En%2BC_2r_2%5En%2BC_3r_3%5En%2B...%2BC_mr_m%5En$ ，其中 $C_1%2CC_2%2CC_3%2C...%2CC_m$ 为任意常数.

若方程有重根，差分方程的通解结构如下：一个单根 $r$ 对应一项 $Cr%5En$ ，一个 $k$ 重根 $r$ 对应 $k$ 项 $r%5En(C_1%2BC_2n%2BC_3n%5E2%2B...%2BC_kn%5E%7Bk-1%7D)$ 。

注意：与微分方程不同的是，这里不区分实根和虚根。

这是因为，差分方程中，特征方程的单重共轭虚根 $a%5Cpm%20bi$ 对应的通解是 $C_1(a%2Bbi)%5En%2BC_2(a-bi)%5En$ ，而写成三角函数形式则是 $(%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%20)%5En(C_1cos(n%5Ccdot%20arg(a%2Bbi))%2BC_2sin(n%5Ccdot%20arg(a%2Bbi)))$ 。