【趣味数学题】婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

2021-07-29 09:03 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式（Brahmagupta-Fibonacci identity）指出，如果两个正整数各自都是两个平方数之和，那么这两个正整数的乘积就是两个平方数之和：

$(a%5E2%2Bb%5E2%20)(c%5E2%2Bd%5E2%20)%3D(ac%E2%88%93bd)%5E2%2B(ad%C2%B1bc)%5E2$

其中 $a%E3%80%81%20b%E3%80%81%20c%E3%80%81d$ 是四个正整数。

这个恒等式最早出现于公元3世纪丢番图（Diophantus）的《算术》（Arithmetica）中，后来又出现在公元1225年斐波那契（Fibonacci）的《平方数书》（Liber Quadratorum）中。公元7世纪, 在《婆罗摩修正体系》（Brahma-sphuta-siddhanta）中，婆罗摩笈多（Brahmagupta）把这个恒定式推广为一般公式：

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3D(ac%E2%88%93nbd)%5E2%2Bn(ad%C2%B1bc)%5E2$

其中 $n$ 也是一个正整数。证明了婆罗摩笈多的一般公式。

【题解】

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3Da%5E2%20c%5E2%2Bna%5E2%20d%5E2%2Bnb%5E2%20c%5E2%2Bn%5E2%20b%5E2%20d%5E2%20$

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3Da%5E2%20c%5E2%2Bna%5E2%20d%5E2%2Bnb%5E2%20c%5E2%2Bn%5E2%20b%5E2%20d%5E2-2nabcd%2B2nabcd$

$(a%5E2%2Bnb%5E2%20)(c%5E2%2Bnd%5E2%20)%3D(a%5E2%20c%5E2%E2%88%932nabcd%2Bn%5E2%20b%5E2%20d%5E2%20)%2B(na%5E2%20d%5E2%C2%B12abcd%2Bnb%5E2%20c%5E2%20)$