如何证明π是无理数

2023-02-25 21:54 作者:光荣的引路人left 0人读过 | 我要投稿

一.前言

UP只是一名初三学生，本专栏中的证明方式具体可见BV1Db411b7UL。同时因为UP第一次写这么严谨的话题和专栏，所以暂时不知道如何打数学符号，所以在一些地方会使用手写，望见谅，也希望有大佬能教UP。

二.证明方法

对于证明π是无理数我们采取反证法。假设π=u/v(其中u、v∈Z且u>v>0)。紧接着通过某种方法找出在这个假设下的矛盾以证明假设错误，即原命题正确。

三.具体思路

根据视频

BV1Db411b7UL的思维。首先我们要构造一个数列{An}(别问为什么不用I，感觉有点像1)，其中第一项从A0开始。这个数列有以下两个特点：

1.对于任意的非负整数n，An为正整数。

2.当n→+∞时，An→0。(特征见下图)

从此处我们便可以轻易发现矛盾-一个每一项都是正整数的数列极限怎麼可能是0！因此，原命题得到证明。

三、证明特征

综上所述，我们的证明思路已经明确。现在便是如何证明这两条特征的问题。首先我们先写出这个数列An(如下)

首先我们先证明第二条特征:

当n→+∞时，An→0。

在此我使用我的理解去证明这条。假设有一个函数ψ(x)=f(x)g(x)h(x)，同时当x∈(a，b)时f(x)、g(x)、h(x)均大于0。并且f(x)、g(x)、h(x)在x∈(a，b)时均有各自的极大值点A、B、C。首先将ψ(x)在区间(α，b)的积分展开(如下)

注意后边，这三个函数分别的值肯定分别小于A、B、C。所以它们的乘积肯定小于等于ABC。故对三个函数值乘积的求和自然小于等于对ABC的求和(见下图)。

所以原积分的结果便小于其中三个函数的最大值的乘积乘以(b-a)。回到原积分，当x∈(0，π)时。x^n最大值为π^n，(π-x)^n最大值为π^n，sinx最大值为1，b-a=π。又因为三个函数均非常数函数，故原积分小于π^(2n+1)。因此我们可以得出以下结果

令n→+∞，可得到下面结论。

对n！使用斯特林公式，可以得到下面结论

因此便证明:

当n→+∞时，An→0

四、继续证明

对于第一条特征我们分为两点证据

1.证明对于任意的非负整数n，An>0

2.证明对于任意的非负整数n，An为正整数

第一条很容易得证：由于y=x^n，y=(π-x)^n，y=sinx当x∈(0，π)时均大于0，故整体的函数图像必然在x轴上(如下图)，故它们在(0，π)上的积分必大于0，故An>0，得证。

对于第二条我们的证明相对困难。首先，我们先计算一下当n=0、1时是否为正整数(如下)

很明显，当n=0、1时An均为正整数。那么对于任意的整数n>1，是否也存在这个结论？显而易见的是如果直接计算这个积分，那工作量会大的离谱。所以我们换一个思路，A2与A0、A1是否存在关系？An是否与A(n-1)以及后面几项相关？是否存在An的递推公式？这里我们便来尝试计算这个积分。计算方法自然是选择分部积分法。注意到sinx的不定积分为-cosx，再积分一次便是-sinx。所以理论上计算两次便可以得到递推公式。而y=x^n(π-x)^n的一阶导、二阶导也可以轻松求出。有了理论支持，我们便可以上手了。