分层系统解释

简介

以下是对本维基分层系统上限的解释，即低1-A及以上的部分，即便这里提出的概念对低层次的功能也有很大作用。

术语

公理：一个自然的、不言而喻的陈述，在一个给定的理论及其语言的背景下被公设并自动视为正确的，从中可以推导出更多的普遍陈述和定理。这方面的一个例子是 "无穷性公理"，它本质上可以被概括为一个简单的断言，即一个无限的集合是存在的，这一点无法通过标准算术的工具来证明或构建，因此必须完全作为一个单独的声明来添加。

 

尽管最初有试图用自然的、非正式的语言来描述，但集合论很快就被证明是在其基础上出现许多悖论和矛盾的理由，因此需要用成熟的术语和定理将其置于正式语言的框架之下，可以说是将其 "公理化"。由自然语言描述的集合论被称为 "朴素集合论"

 

幂集：给定集合X的所有子集的集合，通常表示为2x或P(X)。比如{1，3，4}的幂集是{∅, {1}, {3}, {4), {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}, {1, 3, 4}}。

 

κ: 无限基数的占位符。

基数

https://vsbattles.fandom.com/wiki/File:Infinity_is_bigger_than_you_think_-_Numberphile

 

上面的视频是对可数和不可数无限集概念的简要解释，它是集合理论中一个非常基本的元素，对于理解之后解释中介绍的大多数概念都非常重要。因此，如果对这里介绍的概念不熟悉，强烈建议你观看。

 

https://vsbattles.fandom.com/wiki/File:How_To_Count_Past_Infinity

 

也强烈推荐这段对基数的大致意思提供了更详细的解释的视频。

 

首先，为了正确地介绍更大的无穷大，建立一个关键的区别区分开基数和序数是极其重要的。

 

从本质上讲，基数是用来表示一个给定的集合中所包含的对象的确切数量，正式称为该集合的势，例如，一个由四个苹果组成的集合的势是4。

 

另一方面，序数可以被定义为用来表示良序集的数字，或者用通俗的话说，拥有一个已定义最小元素的集合。根据冯-诺伊曼（John Von Neumann）正式提出的序数标准构建，任何给定的自然数都是一个序数，以及所有比它小的序数的良序集。比如说：

 

4 = {0, 1, 2, 3}

 

7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

当接近有限的对象集时，这两个概念是携手并进的，它们之间没有实际区别。然而，在处理无限集时，两者是分开的，结果证明在表示集合中的顺序和表示其中包含的对象数量之间存在非常明显的不同。

 

在所有有限序数用尽之后，出现了第一个无限序数：ω，它可以在数学上被定义为等同于所有自然数的集合，或者更准确地说：

 

ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

 

正好在ω之后的，是ω+1，其定义为：

 

ω+1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5... ω}

 

之后是ω+2：

 

ω+2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5... ω, ω+1}

 

以此类推，直到在ω上应用任何进一步的运算。然而，重要的是要知道，虽然所有这些序数都在ω之后，并且从技术上讲，比它 "大"，但它们所代表的每个集合都拥有相同数量的对象，因此具有相同的势。事实上，它们是可数集合，因此都由同一个基数表示： 阿列夫零，表示为ℵ0。

 

在ℵ0之后，是最小的不可数基数：ℵ1，其本身由序数ω1为引索，即所有可数序数的集合为引索。就分层系统而言，它被认同为一个公理，即ℵ1是所有实数的集合的势，因此等于ℵ0的幂集，同样的原理也将被推广到任何更高的基数。

 

这个层次结构被扩展到阿列夫数，其下标可以被定义为对应于任何更高的数字，无论是有限的还是无限的：ℵ2, ℵ3, ℵ4... ℵω，ℵω+1，ℵω+2，以此类推，每一个后继的基数都等于前一个的幂集。

不动点

 

从数学上讲，阿列夫层次结构的不动点本质上是一个给定的基数κ，使得κ=ℵκ。通俗地说，这本质上意味着一个阿列夫不动点是一个无限基数，其大小大到无法通过变换而改变，并且等于其下的基数的数量。

 

为了进一步阐述这一点： 通过考虑任何给定的无限数之前的基数的确切数量，并将其与下标关联起来，来思考基数不动点是有效的： 也就是说，在ℵ0下没有无限基数，在ℵ1下有一个，在ℵ2下有两个...。ℵω下有ℵ0个无限基数，等等，等等。

 

现在，假设有一个无限的基数，其下标基本上是一个无限的阿列夫数级联，无休止地向下重复自己。由于下标本身包含了无限多的阿列夫数，从其中去掉一其中个不会以任何方式改变数字本身，从而使这个基数变成一个其大小使得小于它的无限基数的数量等于其本身数字。

大基数

 

非常粗略地讲，大基数是某些具有非常 "大 "的性质的基数。也就是说，它们是不能从大多数集合论的标准公理中证明其存在的基数，因此必须通过添加另一个假定它们存在的公理来明确定义它们，就像无限集（ω）不能从算术的标准工具和运算中得到，因此需要单独添加其存在。

 

大基数的层次结构相当广泛，包含了许多有奇特名字的数字，但最传统和最容易理解的切入点是不可达基数： 不可数的无限基数，它是规则的（不能被定义为小于自身的数的并集）和强极限的（不能通过重复的幂集运算达到），用通俗的话说，这意味着它们不能以任何方式、形态或形式从比它小基数达到，不可达基数完全超出它们的领域。以下是不可达基数与小于它的数字的一个很好的图解：