非常遗憾的消息，本书的作者，新剑桥学派的重要代表人物，卢伊季·帕西内蒂前天不幸离世了，非主流经济学失去了一位伟大的经济学家，在这里我深表哀悼。

由于第三章涉及到许多公式，word已经译好的文章粘贴到b站很不方便，所有的公式需要重新输入，因此有些公式就以图片或英文输入的形式表示了，如有错漏，还请大家指出。以及，正文中的红色字体为原书标注的英文斜体。

第三章 一个线性生产模型

一、以代数项表达的交易记录表

（一）回到一个简化的经济系统。

       为了使我们的分析超越投入产出表的纯粹描述性的阶段，现在重新回到一个简化的经济系统我。们再次采用前一章数值例中的简单假设，即经济系统从劳动力、技术知识和消费决策方面看处于完全稳态的假设。而且，我们将假定完全相同的商品和服务的实物流动会年复一年地发生。

（二）交易记录表。

       对于分析目的而言，基于数值项的描述限制太大了，但可以用代数项进行更一般的处理。

       一般来说，假设投入产出表包含 n 行和 n 列，分别代表 n 个产业的产出和投入（这里的“产业”一词是广义上的）。记 ，用来表示交付给产业 1,2,...,j,...,n 的第 i 种商品的实物数量；然后记为第 i 种商品的价格。由于，i,j=1,2,...,j,...,n（即有 n 行和 n 列），所以交易记录表将如表III.1中所呈现的那样。

       可以看到，在这张表中出现了 n 个价格  ，和  个实物量，其中。这些实物量按商品种类（按行）和产业类型（按列）进行分类。因此，符号表示在第 j 个产业中使用的第 i 种商品的实物量。换句话说，两个下标表示相应实物量在表中的位置——第一个表示行的编号，第二个表示列的编号。

       出现在同一行中的实物量显然是同质的（例如，第一行可能指的是商品小麦），而出现在任何一列的实物量都是异质的（例如：小麦生产行业中所使用的小麦、煤、铁等）。不过，由于每个实物量都已经乘以了相应的价格，所以出现在每个单元格中的数值都是以当前价值表示的。因此，可以对行和列进行求和。从该表的纯会计性质来看，每一行的总和将恒等于相应列的总和。因此，如果我们用  来表示商品 1, 2, ..., n 的总数量，就有：

       表III.1也可以用两组会计恒等式的方程组来表示，它们分别对应于行总和与列总和。于是，我们得到：

二、一个基于代数的重新表述

       如上所述，两组会计恒等式方程组（III.1.1）和（III.1.2）在数学上有些难以处理，因为它们呈现出明显的非对称性（asymmetry）。例如，（III.1.1）中的每个等式都可以通过除以价格（每一项的价格都一样）而立即得到简化。但在（III.1.2）中却不能这么做。不过，我们有可能引入一些定义，通过使代数公式对称化，以得到更有意义的分析。令：

因此有：

       利用这些定义可以消除（III.1.1）和（III.1.2）中的 ，然后进行化简，可以得到：

       可以看到，两组方程组（III.2.1）和（III.2.2）现在是完全对称的。第一组方程组列出了实物量  之间的关系，第二组方程组列出了价格 之间的关系。二者都包含相同的数值 ，但行和列是互换的：相同的 ，在（III.2.1）中出现在行上，而在（III.2.2）中出现在列上，反之亦然。

三、到目前为止所使用的方程式的会计性质

       千万不要被上面的定义所误导。我们使用方程组来表示交易记录表，并没有为其增加或减少任何内容。特别是上面的（III.2.1）和（III.2.2），不过是会计恒等式，只是交易记录表III.1的另一种写法。

       例如，如果我们想利用上一节的定义写下第二章数值例的表格，我们将得到行等式的表达式：

       与（III.1.1）和（III.1.2）相比，（III.2.1）和（III.2.2）的意义在于，它们包含了一组具有重要经济意义的全新数值——比率 。如果在我们的数值例中，我们更仔细地考虑出现在（III.3.1）第一列中的比率。

       （或者，更一般地说，），我们会注意到，它们分别代表在所观察的经济中，生产一个实物单位的小麦平均所需要的小麦、铁、火鸡和劳动的实物量（或者，更一般地说，代表广义上的商品实物量，1, 2, 3, ..., n）。它们仅仅是小麦行业（即行业1）的所谓的生产系数。其他列中出现的比率也应作类似的解释。这些平均的生产系数  同和形成了鲜明对比。前者属于生产技术的世界，而后者则属于经济决策的世界。混合出现在交易记录表中的这两种数值的分离，确实是（III.2.1）和（III.2.2）最有趣的特征。因为存在一系列的问题，使得这种区分变得很重要。

       实物生产量变化而生产系数保持不变的情况，显然对应于生产的技术过程既不导致规模收益递增也不导致规模收益递减（规模收益不变）的情况。在这种情况下，将（III.2.1）和（III.2.2）解释为线性方程组——这两组线性方程组的系数均为 ，而未知数则分别是，和，——就变得合理起来。当规模收益不完全是常数，但与常数相差不大时，相同的处理程序也是合理的。

五、两组方程组

       在第四节末尾，我们提到了方程组，而不再像以前那样讲恒等式方程组，因为我们涉及到一个具体的假设：规模收益不变。

       实际上，只要我们在（III.2.1）和（III.2.2）中引入一个关于  系数的假设——就像在本例中提到的规模收益不变的假设——这些方程式就不再是恒等的。只有当假设成立时，它们才是真的。因此，它们变成了表达“理论”的方程。例如，在经过经验检验后它们可能会被拒绝。

       当然，人们可以采用规模收益不变以外的其他假设。因此，今后有必要仔细说明对技术系数  所作的假设。在某些情况下，明确说明没有必要作出的假设也很重要。（我们将在第五章第12节中考虑这方面的一个特殊例子。）然而，这些陈述不应被视为意味着生产系数必须保持不变，实物量和价格必须变化。（在实践中，很可能是技术系数发生变化，而产出保持不变。或者，分析那些不一定涉及  或  变化的问题可能是有意义的。）因此，我们对比率  同数量  和价格  的对比，不是基于常量和变量之间的区别，而是基于被视为给定的数值和被视为未知的数值之间的区别。对经济学家来说，技术系数是由生产技术给定的数值，而数值和则是经济分析的主题。更一般地说，我们将把（III.2.1）和（III.2.2）视为两组方程组，使我们能够在一定的有关技术系数 的假设下,对 和 的解的性质进行分析。

六、关于矩阵代数的使用

       此时，研究（III.2.1）和（III.2.2）作为两组线性方程组的数学性质就变得很重要。

       在初等代数中，两个或三个线性方程所组成的方程组的解和性质是众所周知的。然而，在目前的情况下，方程的数量实际上可能会变得非常多。为了方便和加快我们的分析，我们将广泛使用矩阵代数。

       为了方便读者，下文中使用的矩阵代数的基本概念将在书末的数学附录中加以回顾。因此，建议不熟悉矩阵代数的读者在继续学习之前可以先去翻阅一下数学附录。