保费定价和二项分布-北太天元学习24
二项式分布用于模拟多次独立试验的情况，每个试验都有两种可能性——成功和失败。在这种情况下，独立性意味着试验的结果对任何其他试验都没有影响。因此，成功和失败的概率是固定的，不会随着试验而改变。这些独立的试验被称为伯努利试验。
伯努利试验一个例子: 如果你掷一枚硬币(这个硬币没有被做手脚)，它总是有0.5的概率出现正面。为了给出一个数学的表达，可以让X_i，i=1，2, ... , n 表示n次试验的出现的试验结果，每个X_i是离散随机变量，我们规定X_i的取值为{0,1}, 其中X_i = 0 表示失败，X_i = 1 表示成功。这样样本空间为S = ｛0，1｝，分别表示失败或成功，概率分布函数为P（X_i=1）= p, ，P(X_i=0）=1−p，其中0≤p≤1 是每次试验成功的概率。我们考虑从随机变量X_1,...,X_n 导出的一个新的随机变量
X = X_1 + ... + X_n
那么 X 可能的取值有 0, 1, ..., n, 也就是说X的样本空间S = { 0, 1, ..., n}, 其中 X =k 表示 n 次独立试验 恰好有 k 次成功发生的概率。概率课上老师会讲 X = k 的概率是
P(X = k ) = C_n^k * p^k * (1-p) ^(n-k),
其中 C_n^k 表示从 n 个不同的元素中选取k 的组合数。
我们说 X 服从二项分布(n,k), 记作 X ~ B(n,k).
二项分布有很多应用，我们下面讲一个应用：保险公司的保费政策制定。
某保险公司拟推出向某小学推出小学生意外伤害险,每位参保人交付保险费，出险时可获得4万元赔付。已知一年中一个人的出险率为0.3%，现有1000名新生参加保险，要使保险公司获利不少于10万元的概率达到90%以上，问保险公司设计此业务时每位参保人至少需交付多少元保险费?
每人交款 x 元，假设一年中有 Y 个人申请理赔，欲使保险公司获利大于10万元，即
1000*x - 40000*Y >= 100000
也就是说，必须满足人数 Y <= (1000*x - 100000)/40000 才能满足获利 10万 以上。
一年中出险的人数 Y 是一个随机变量，它服从二项分布， 一个人出险的概率是 0.3%, 也就是我们说的做一次试验，事件A发生的概率 p = 0.003,
那么1000个人的总出险人数和相当于做了1000次独立试验事件A发生的次数。
那么 Y = k 的概率是
P(Y = k ) = C_n^k * p^k * (1-p)^k
其中 n = 1000, C_n^k = n!/( k! * (n-k)! 是从n个不同的元素中选取k的组合数。
保险公司期待能以90%的概率赚到10万元，那么只要使得
P(Y <= (1000*x - 100000)/40000 ) > 90% 即可。
我们知道 Y 的取值是 0,..., 1000,
如果 ( 1000*x-100000) /40000 = 1000
那么我们肯定 100% 的概率赚钱，此时需要收取的钱数是
x = 400100 元，
收的钱比赔付的还多，参保人肯定不愿意。
我们不妨暴力的来计算 某个比1000小的最小的正整数 k_some
使得 P(Y <= k_some ) > 90%,
然后通过解下面的方程
(1000*x-100000)/40000 = k_some
得到 x 即是所求 (可以适当的上取整啊，这样也能多赚一丢丢)。
close all; clear all; clc
n = 20; % 试验的次数
p = 0.003; % 做一次试验时，事件A发生的概率
f = binomial_pdf(n,p);
bar(0:n,f);
xlabel("事件A发生的次数X")
ylabel("概率")
hold on
plot(0:n,f,'y-','LineWidth',6);
hold off
%P(X<=k) < 0.9 的k 的最大值
k_some = max(find(cumsum(f) < 0.9));
% 解(1000*x-100000)/40000 = k_some 得到向每人收取的保费
x = ( k_some * 40000 + 100000 )/1000
% 伯努利试验，总试验次数时n, 事件A发生的总次数X
% 时一个随机变量，可能的取值为 0,1,..., n
% X=k 表示 总试验次数是n时，事件A总共发生了k次，
% X=k 发生的概率是
% p(X=k) = nchoosek(n,k) * p^k * q^(n-1)
%
function f = binomial_pdf(n,p)
f = zeros(1,n+1); % 对二项分布的概率f赋初值
for k=0:1:n; % 事件A发生k次,求二项分布f,即成功k次的概率
f(k+1) = nchoosk(n,k) *p^k * (1-p)^(n-k);
end
end
% 从n个不同元素中取出k个元素的组合数
% cnk = n!/(k! * (n-k)!)
% 第二个算法 cnk = 1/(n-1)*beta(k+1,n-k) 这里的beta是beta函数
function cnk = nchoosk(n,k)
if(n==k || k==0)
cnk = 1;
return;
end
%cnk = (factorial(n)/factorial(n-k)/factorial(k))
cnk = 1/(n-k)/beta(k+1,n-k)
end
