Hartshorne's Algebraic Geometry 哈茨霍恩代数几何补充细节（一）

2023-08-13 13:30 作者:Micromaster 0人读过 | 我要投稿

以下证明来源于：affine varieties - Theorem 3.2, Chapter 1, of Hartshorne's Algebraic Geometry - Mathematics Stack Exchange

定理3.2的(d)部分论述容易引起困惑：

A(Y)的商域同构于 $%5Cmathcal%20%7BO%7D_%7Bp%7D$ 的商域，并且它等于K(Y)

由于在定理3.2(c)中，我们已经证明 $%5Cmathcal%7BO%7D_p%20%5Ccong%20A_%7Bm_p%7D$ ,那么 $Frac(A(Y))%5Ccong%20Frac(A(Y)_%7Bm_%7Bp%7D%7D)%5Ccong%20Frac(%5Cmathcal%7BO%7D_p)$ ,另一方面，由于 $%5Cmathcal%7BO%7D_p%20%5Csubseteq%20K(Y)$ 可以视为K(Y）的子环，从而若 $Frac(%5Cmathcal%7BO%7D_p)%5Cneq%20K(Y)$ ,那么必然有K(Y)中的元素不属于 $%5Cmathcal%20%7BO%7D_p$ ,但这是不可能的，因为，任一有理函数必然是某点上的正则函数，即 $K(Y)%3D%5Cbigcup_%7Bp%5Cin%20Y%7D%20%5Cmathcal%7BO%7D_p$

命题4.3，如果对定理的证明过程把握不足就容易产生困惑

此外， $Y-Y%5Ccap%20H%20%E5%8F%88%E6%98%AFA%5En-H$ 的闭子集

习惯性的想法是两者仅相差一个交，即：

$Y-Y%5Ccap%20H%3DY%5Ccap(A%5En-H)$

这并没有什么错误，但是在证明中我们假定了Y是拟仿射簇，所以Y并不是一个开集，从而上式并不能说明它是一个闭子集。实际上，原文的证明已经给出了解释，在说明这个问题之前，Hartshorne给出了 $Z%3D%5Coverline%7BY%7D-Y$ 是 $A%5En$ 中的闭集，且 $Z%5Csubseteq%20H$ ,从而只要对上面的式子作适当的更改即可：