很水的数学分析106：多元函数的连续性

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1.用邻域或用ε—δ语言定义的连续具有一般性。（想象地铁站的例子）（所以那个经典说法是“连续本质上是拓扑性质”）

用lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)定义仅仅局限在x₀是极限点而不是孤立点的情况。

（从极限点的集合概念或开集的性质都可以得知从前假设有“f在x₀处及其附近有定义”这个条件是“x₀是极限点”的充分不必要条件）

2.孤立点必然是连续点，因此f在有限集上连续。

3.再次强化记忆范数不等式，用它推出投影算子的连续性，从而再结合常值函数的连续性、连续的线性性质可推知n元多项式函数的连续性，继而根据四则运算的连续性可知有理多项式函数的连续性。

4.类似累次极限，如果一个多元函数对每个变量都连续，并不能断言它是一个连续函数。

5.设f在D上对x,y都连续。若f在D上对于其中一个变量一致连续/单调，则f在D上连续。

再次体现单调是个很好的性质。

①前者只要ε—δ语言、范数不等式、二分法掌握清晰就能证明。

②Young命题。拿一元举例子，f(x)单调⇨f(x) ≤ max｛f(x₀+δ)，f(x₀-δ)｝。并且像导数定义那里一样，x₀+△x和x可互相替换。