学霸喜欢的三角换元法-普通人也能会！【决胜强基系列】

本笔记适合有基础的看

换元到三角换元真的就只是换汤不换药吗，看了这期笔记你会有新的体会。

个人看法：的确是，甚至思路更清晰（高考，竞赛中的确实hhhhhh难到爆）

方法核心一句话也就是要将式子化成三角运用三角进行简化运算比如参数方程，因为三角函数中有天然的合成公式（此处指辅助角公式）中的极值，有拉普拉斯展开、德摩根公式和角公式倍角公式天然的运算法则，所以处理起来会更加方便，采用三角换元。

三角换元将几何与代数通过参数方程、代数变形通过笛卡尔建立的坐标系完美结合在了一起，这里一哥举了圆的例子，大家体会一下，忘记了辅助角公式的一定要复习

你看你看吧，这不就来了吗，硬配成你所熟悉的形式，考虑将x原来代表的cosθ变成两倍，剩下的就没有难度了（我是故意强调的（滑稽））

没有难度的前提是对三角函数公式的熟悉（求生欲）

强基的题一出你就发现不是那么好做了

这一步是关键啊，就是体现了硬配成我想要的东西，在学校学参数方程的时候可不要偷懒哦

接下来就是应用三角函数的计算优势了（因式分解的不要找我杠）

细品，一哥说全部都可以使用二倍角公式，由于对公式足够熟悉才下意识乘的这个二分之一，所以基础知识必须打牢，补充一下公式：

倍角公式：

1、Sin2A=2sinA*CosA

2、Cos2A=CosA^2-sinA^2=1-2sinA^2=2CosA^2-1

3、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：sinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）

二、降幂公式

1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

2、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

3、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

四、两角和差

1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

五、和差化积

1、sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

2、sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

3、cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

4、cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

5、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

够了，反正你们也背不完（滑稽）

管他加多少，加个φ就完事了（这不是笑话，我们划出来只是为了找极值，这个确实没必要）

一哥出题你值得拥有

没有标志性的参数方程就先配方

三角换元不是说非要先写成x=balabala，y=balabala，配方找出你配出来能够配成与三角函数有关联的就可以了，剩下的交给三角函数计算。

对一下答案

我知道很多人双曲线学的很好，可以用，但不推荐，大神你自便，很多人对sin和cos较为敏感（公式背得多），tan就无感了，而且还有分数。为了避免思维枯竭，最好不用，最好

好方法：

哪个有标志那个就设，设前设后都可以，后面好做就做后面，转化思路才是数学之道

其次的情况下就美汁汁了

看吧，辅助角你记不到又完了（快发评论骂得好）

来一个隐蔽的，本题我有话说，先画图，先把后面这个带根号的画出来，根据几何性质反找角度范围，如果是椭圆可不要乱用哈，那个是要仿射的

这一个字过大年，这不就是t吗（疑问），直接得3sinφ

相加为常数，经常见，几何，向量，柯西都可以，来看一哥的参数方程

这里是关键，找到常数！！！！！

拓展：假设本题我只把第一个根号里的x的系数改成-2，你就把第一个式子除以2童谣可以弄成一个圆（其实就是椭圆的参数方程）

我还是那句话，就把m当成横坐标，n当成纵坐标去找角度范围，来的直接一些

这里哦，第一次出现要求出φ的取值，所以很多时候不用担心，如果是我，我只会将φ和45°比较，注意啊，就是一个定性算，确定一下，然后计算就会少很多步骤

制作不易，币币支持（肯定）