【银蛇出品】数学漫谈15——从关于自变函数二阶导函数的泛函出发导出Hamilton方程

2023-04-04 11:58 作者:山舞_银蛇 0人读过 | 我要投稿

前置知识：泛函的基本概念、变分法

摘要：本文简单介绍了一些Hamilton体系求解力学问题的优势。总结了一种从包含高阶导数的Lagrange量出发，导出Hamilton方程的方法。使得将Hamilton体系的解析方法和数值方法应用在这类系统上成为可能。

关键词：Hamilton体系、高阶Lagrange系统、Legrendre变换、降阶、Hamilton方程

一、Lagrange、Hamilton体系分析力学问题的优势的简介

我们知道，力学发展至今共有三套体系：一是Newton发明的矢量力学体系；二是Lagrange发明的Lagrange体系；三是Hamilton发明的Hamilton体系。这三个体系看起来很不同，但在数学上是等价的。就是说，以其中一个体系为前提出发，能够推出另外两个体系；且对于同一个物理模型，三个体系给出的描述问题的方程是等价的，结果也应该是等价的。然而，方程和结果等价并不意味着建立方程和求解方程这两个过程也是等价的。

如果读者学过一点Lagrange体系相关的知识，应该能意识到Lagrange体系在建立方程时往往比Newton体系更具优势，可能表现在待求解的未知函数更少，或者获得的方程具有更好的形式（例：振动力学中，通过Lagrange体系获得的方程中，质量系数阵M、阻尼系数阵C、刚度系数阵K都是对称的，而通过Newton体系获得的方程则不具备这种优势），并且这种方式将Newton体系中大量的受力分析转化成了机械性的计算，对于追求问题分析的一般性来说是更优的。而且，Lagrange力学体系提供了一种全新的数值方法——即变分的直接方法，这种方法能够在更广泛的意义给出方程的近似解。

在现今的力学学科中，Hamilton体系在分析和建立方程上一般没有特别明显的优势，并且由于有限元法等“力学问题数值求解通法”的发展，人们似乎不那么关心Hamilton体系在力学中特别是工程问题中的应用了，这可能也是Hamilton体系没有得到广泛推广的原因之一。不过，Hamilton体系求解力学问题的发展已有40年左右。上世纪80年代，冯康院士提出了Hamilton算法，这是一种求解方程的数值方法，该方法需要先将问题用Hamilton方程描述出来，随后构造保辛（简单来说可以理解成具有某种意义下的守恒性）的差分格式。这种格式具有长期跟踪稳定，即不存在数值耗散（人工阻尼）的优势，这也是Hamilton体系与实际工程问题能够紧密结合的地方。90年代，钟万勰院士提出和发展了通过Hamilton体系解析求解弹性力学问题的方法，该方法的最大优势在于能够逐次找到所有特征解，而以往的半解析解可能存在遗漏或考虑不周的情况。另外，对于长厚比大的结构，该方法能够考虑随Saint-Venant效应快速衰减的边界效应。

尽管Hamilton体系求解存在这些优势，但可能是由于有限元方法在力学中的普及，Hamilton体系求解的方法，特别是在弹性力学中解析求解的方法没有得到多少重视。

二、从含一阶导数项的Lagrange量推导Hamilton方程

首先回顾一下如何从含一阶导数项的Lagrange量推导Hamilton方程。

设作用量

$S%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20L(t%3Bu%2C%5Cdot%7Bu%7D)%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt$

其中 $%5Cdot%7Bu%7D%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%7D$ 。若将作用量S视为关于 $u%2C%5Cdot%7Bu%7D$ 的自变函数，则通过最小作用量原理，令其变分等于0

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%5Cdelta%20S%20%26%3D%5Cdelta%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7DL(t%3Bu%2C%5Cdot%7Bu%7D)%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cdelta%20L(t%3Bu%2C%5Cdot%7Bu%7D)%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cdelta%20u%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7Bu%7D%7D%5Cdelta%5Cdot%7Bu%7D%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7Bu%7D%7D%5Cdelta%20u%5Cright%7C_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%2B%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20-%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7Bu%7D%7D%5Cright)%5Cdelta%20u%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D0%0A%5Cend%7Balign*%7D%0A$

除去边界条件部分，再根据变分法基本定理就可得到描述问题的微分方程，即Euler-Lagrange方程

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20u%7D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7Bu%7D%7D%3D0$

而如果先做Legendre变换

$p%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7Bu%7D%7D$

并将Lagrange量改写成Hamilton量

$L(t%3Bu%2C%5Cdot%7Bu%7D)%3Dp%5Cdot%7Bu%7D-H(t%3Bu%2Cp)$

这时将作用量S视为关于以u,p为自变函数的泛函

$S%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20(p%5Cdot%7Bu%7D-H(t%3Bu%2Cp))%5Cmathrm%7Bd%7Dt$

对其取变分

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%5Cdelta%20S%20%26%3D%5Cdelta%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20(p%5Cdot%7Bu%7D-H(t%3Bu%2Cp))%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cdelta%20(p%5Cdot%7Bu%7D-H(t%3Bu%2Cp))%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(%5Cdot%7Bu%7D%5Cdelta%20p%20%2Bp%5Cdelta%5Cdot%7Bu%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cdelta%20u-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20p%7D%5Cdelta%20p%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cleft.p%5Cdelta%20u%5Cright%7C_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%2B%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Cleft(%5Cdot%7Bu%7D%5Cdelta%20p%20-%5Cdot%7Bp%7D%5Cdelta%20u-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cdelta%20u-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20p%7D%5Cdelta%20p%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%3D0%0A%5Cend%7Balign*%7D%0A$

于是就得到了Hamilton方程

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cdot%7Bu%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20p%7D%5C%5C%5B6pt%5D%0A%5Cdot%7Bp%7D%3D-%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D$

三、从含二阶导数项的Lagrange量推导Hamilton方程

下面推导如何从含二阶导数项的Lagrange量推导Hamilton方程。

设作用量

$S%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20L(t%3Bu%2C%5Cdot%7Bu%7D%2C%5Cddot%7Bu%7D)%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dt$

其中 $%5Cddot%7Bu%7D%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D$ ，这时无法直接执行Legendre变换。

引入新的变量 $v%3A%3D%5Cdot%7Bu%7D$ ，并将该式以约束形式引入Lagrange量中，得到：

$%5Ctilde%7BS%7D%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(L(t%3Bu%2Cv%2C%5Cdot%7Bv%7D)%2B%5Clambda(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt$

对前一部分执行Legendre变换

$%5Cmu%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%5Cdot%7Bv%7D%7D$

将L改写成Hamilton量的形式

$%5Ctilde%7BS%7D%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(%5Cmu%20%5Cdot%7Bv%7D-H(t%3Bu%2Cv%2C%5Cmu)%2B%5Clambda(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt$

取变分得

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%5Cdelta%5Ctilde%7BS%7D%3D%5C%3B%26%5Cdelta%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(%5Cmu%20%5Cdot%7Bv%7D-H(t%3Bu%2Cv%2C%5Cmu)%2B%5Clambda(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%3D%5C%3B%26%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cdelta%5Cleft(%5Cmu%20%5Cdot%7Bv%7D-H(t%3Bu%2Cv%2C%5Cmu)%2B%5Clambda(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%3D%5C%3B%26%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(%5Cdot%7Bv%7D%5Cdelta%5Cmu%2B%5Cmu%5Cdelta%5Cdot%7Bv%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cdelta%20u-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%5Cdelta%20v-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%5Cdelta%5Cmu%2B(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cdelta%5Clambda%2B%5Clambda%5Cdelta(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5C%5C%0A%3D%5C%3B%26%5Cleft.(%5Clambda%20u%20%2B%20%5Cmu%20v)%5Cright%7C_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%2B%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20%5Cleft(-%5Cleft(%5Cdot%7B%5Clambda%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cright)%5Cdelta%20u%20-%5Cleft(%5Cdot%7B%5Cmu%7D%2B%5Clambda%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%5Cright)%5Cdelta%20v%5Cright.%5C%5C%0A%26%20%5Cleft.%2B(%5Cdot%7Bu%7D-v)%5Cdelta%20%5Clambda%2B%5Cleft(%5Cdot%7Bv%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%5Cright)%5Cdelta%5Cmu%5Cright)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%0A%5Cend%7Balign*%7D$

于是就得到了Hamilton方程

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cdot%7Bu%7D%3Dv%5C%5C%5B6pt%5D%0A%5Cdot%7Bv%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%5C%5C%5B6pt%5D%0A%5Cdot%7B%5Clambda%7D%3D-%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5C%5C%5B6pt%5D%0A%5Cdot%7B%5Cmu%7D%3D-%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20v%7D-%5Clambda%0A%5Cend%7Bcases%7D$

如果引入

$%5Ctilde%7BH%7D(t%3Bu%2Cv%2C%5Clambda%2C%5Cmu)%3DH(t%3Bu%2Cv%2C%5Cmu)%2B%5Clambda%20v$

那么上述方程与一阶情形就达成了形式上的统一。

理论上来说，这种方法应该可以推广至含更高阶导数项的Lagrange量的情形。

另外需要注意的是，这种方法引入的Lagrange乘子在纯数学形式上应该没有什么特殊的限制，但是在具体的物理学或力学问题中，至少需要保证 $%5Clambda%5Cdot%7Bu%7D$ 与 $%5Cmu%5Cdot%7Bv%7D$ 的量纲一致。关于Lagrange乘子究竟是否需要有选取上的限制，笔者尚不十分清楚，希望能与有想法的读者共同探讨。