概率分布模拟（二）

一、指数分布模拟

        指数分布常用来描述某个事件发生的等待时间的分布。我们知道在x≥0时,f(x)=λe^(-λx)，所以F(x)=1-e^(-λx)。借助Excel，设置公式-LN(1-RAND())/λ，便可求出已知λ和随机概率对应的x值，同时还可以借助公式EXPONDIST(x,0.2,1)返回F(x)。生成服从λ为0.2的指数分布的随机数，制图如图1。

        一个非负随机变量X是无记忆的，是指

P{X>m+n|X>m}=P{X>n}    m,n≥0

显然指数随机变量是无记忆的。假设一个梗产生时间间隔（小时计算）服从λ为0.01的指数分布，那么产生新梗的时间超过2天的概率为1-F(48)=0.619,在第2天到第5天的概率为0.318。

二、二项分布

        借助BINOM.DIST(i,n,p,1)返回n次实验中i次试验成功且每次成功概率为p的概率。

三、泊松分布

        P{X=k}=e^(-λ)[(λ^k)/k!]，借助POISSON.DIST(k,λ,1)返回参数为λ发生次数为k的概率。我们知道当n充分大而p非常小且np保持一定大小，参数(n,p)的二项分布近似为λ=np的泊松分布

四、综合模拟

        图2的WS小世界模型有30个节点、每个节点有5个邻居节点且随机化重连概率为0.5。

        一个人单独完成作业的时间（小时计算）服从参数λ=0.02的指数分布。完成作业指F(X)大于等于0.995。

（1）假设一个班有30人，从编号0到编号29，每个人的交际关系如图2。

（2）完成作业时间限定在30天内，编号0到编号4一定会选择从第1天开始完成，编号5到编号24一定会从第10天开始完成，编号25到编号29一定会从第20天开始完成开始完成。

（3）如果一个人获得了他人已完成的作业，那么他完成作业的时间或剩余时间将服从λ=0.03的指数分布。

（4）只有单独完成作业时间早的向晚的发送作业；只有完成作业的人或获得完成作业的人发送作业，前者在其完成作业当天，后者在获得完成作业当天。

（5）一个人发送给他人的概率与可能发送人数相关，若有N人可能被发送，发送任意n人的概率为1/(N+1)。

        问题：编号29最早在哪一天完成作业且概率为多少？

        由（1）可知每个人单独完成作业的时间约为288小时，即12天，这由于

EXPONDIST(288,0.02,1)=0.997

从而可知：编号0到编号4一定在第12天完成作业。

        与编号29直接相联系的人有编号5、编号7、编号8、编号25和编号28。从图2可以看出编号5有0.5的概率发送作业给编号29，编号7有0.5的概率发送给编号29，编号8有0.5的概率发送给编号29。

        编号4会在第12天完成作业，有5人可能被发送，编号4选择发多少人的概率都为1/6。若只发送1人，编号5有1/5的概率获得；若发送2人，编号5有4/10的概率获得；若发送三人，编号5有6/10的概率获得；若发送4人，编号5有1/5的概率获得；若发送5人，编号5一定获得。编号5获得作业的概率为(1+2+3+4+5)/30=1/2。

        编号5获得编号4的作业是在第12天，那么当天编号29有0.5的概率获得作业并在第20天开始完成，由（5）可知编号29获得作业后会在第27天完成作业，这是因为

EXPONDIST(192,0.03,1)=0.997

其在第27天完成的概率为0.25。当然我们也可以知道编号5只需81小时便可完成作业，换言之上述过程并不是最短的，最短时长为48+17=65小时，即直接借助编号5、编号7或编号8完成的作业，这主要是由于指数函数性质。