利用常见不等式比大小（2022新高考Ⅰ，7）

2023-06-07 09:45 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2022新高考Ⅰ，7）设 $a%3D0.1%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D$ ， $b%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ， $c%3D-%5Cln%20%200.9$ ，则（）

A. $a%3Cb%3Cc$

B. $c%3Cb%3Ca$

C. $c%3Ca%3Cb$

D. $a%3Cc%3Cb$

解：因为

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ， $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cln%20%20x%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20x-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5Cright)%20%7D$

所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B-%5Cln%20%200.9%7D%3D%5Cln%20%5Cfrac%7B10%7D%7B9%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B10%7D%7B9%7D-%5Cfrac%7B9%7D%7B10%7D%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B19%7D%7B180%7D%7D$

因为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%7D$ ， $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%5Cgeqslant%20x%2B1%7D$

（当且仅当 $x%3D0$ 时左右相等）

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B0.1%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E%7D0.1%5Ctimes%20%5Cleft(%200.1%2B1%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B11%7D%7B100%7D%7D$

因为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C1%20%5Cright)%20%7D$ ， $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D%7D$

（当且仅当 $x%3D0$ 时左右相等）

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B0.1%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%3C%7D0.1%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-0.1%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%7D$

综上所述：

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bc%3C%7D%5Cfrac%7B19%7D%7B180%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B95%7D%7D%7B900%7D%3C%5Cfrac%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B99%7D%7D%7B900%7D%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B100%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3Ca%3C%7D%5Cfrac%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B100%7D%7D%7B900%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7Bb%7D$

选C.

注：本题中所用三个不等式，读者自证不难.

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