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二重积分的比较大小

2023-07-02 13:52 作者:编程会一点建模不太懂 0人读过 | 我要投稿

题目选自2009年考研数学一

如图正方形区域 $D%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20%7C%5Cleft%7C%20x%20%5Cright%7C%5Cle%201%2C%5Cleft%7C%20y%20%5Cright%7C%5Cle%201%20%5Cright%5C%7D%20%0A$

被对角线化为4个区域 $D_k%2Ck%3D1%2C2%2C3%2C4$

$I_k%3D%5Ciint%5Climits_%7BD_k%7D%7By%5Ccos%20xdxdy%7D%0A$

则当 $k$ 取何值时， $I_k$ 最大

积分区域

对于区域 $D_1$

$0%5Cle%20y%5Cle%201%2C-1%5Cle%20x%20%5Cle1%2C%5Ccos%20x%3E0$

在该区域上，被积函数 $y%5Ccos%20x%3E0$ ，所以 $I_1%3E0$

对于区域 $D_2%2CD_4$

因为被积函数 $y%5Ccos%20x$ 关于 $y$ 是奇函数，且积分区域关于 $y$ 轴对称，所以 $I_2%3DI_4%3D0$

对于区域 $D_3$

$-1%5Cle%20y%5Cle%200%2C-1%5Cle%20x%20%5Cle1%2C%5Ccos%20x%3E0$

在该区域上，被积函数 $y%5Ccos%20x%3C0$ ，所以 $I_3%3C0$

最终 $I_1%3E0%3DI_2%3DI_4%3D0%3EI_3$

所以 $I_1$ 最大

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