【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep95】函数极限例题（四）

这几次都是书上的例题，这次的题目对之前数列极限一个结论的推广，结论要记住，以后会反复用到——

54例题

e.lim a^x=1，x趋向于0时

a>1时，a^x为单增函数——

1. 已知数列lim a^（1/n）=1，即对于任意小数ε>0，存在自然数N'，使得n>N'，|a^（1/n）-1|<ε，因为n趋向于无穷大，1/n趋向于0，且1/n>0，于是a^（1/n）>1，于是a^（1/n）-1<ε，得到n>N'>=1/loga （1+ε）=ln a/ln（1+ε），取N=[ln a/ln（1+ε）]+1即可；

2. 那么，lim a^（-1/n）=lim 1/a^（1/n）=1，即对于任意小数ε>0，存在自然数N"，使得n>N"，|a^（-1/n）-1|<ε，因为n趋向于无穷大，-1/n趋向于0，且-1/n<0，于是a^（-1/n）<1，于是1-a^（-1/n）<ε，得到n>N">=-1/loga （1-ε）=-ln（1-ε）/ln a，取N=[-ln（1-ε）/ln a]+1即可；

3. 对于任意x>0，必然存在N0=max{N'，N"}，使得-1/N0<x<1/N0，且1-ε<a^（-1/N0）<a^x<a^（1/N0）<1+ε；

4. 复述定义：lim a^x=1，x趋向于0时，即对于任意小数ε>0，存在Δ>0，当0<|x|<Δ时，|a^x-1|<ε，即1-ε<a^x<1+ε

5. 由3,4，只要使0<|x|<Δ<=1/N0成立即可，所以取定Δ=1/N0即可。

0<a<1同理可证。