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well, 其实之前一直讨论的是离散小波变换(DWT), 这里是稍微讨论一下连续小波变换(CWT).
小波变换与加窗傅里叶变换类似, 有两个参数 a 与 b 去衡量信号函数在位置 x=a 处频率为 b 的大小. 傅里叶变换 %3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(x)%5Coverline%7Be%5E%7Bi%5Cnu%20x%7D%7Ddx)
中的想法就是计算信号函数 f(x) 与频率函数 eⁱᵛˣ 的相关性, 那么小波变换也有类似的概念: 给出小波函数 )
, 那么 )
表示小波函数偏移长度 b 并且缩放 a 后的新函数, 利用与傅里叶变换相似的想法, 小波变换定义为 %5Coverline%7B%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)%7Ddx)
, 但是这样定义时 a=0 无意义, 于是使用 ax+b 替换 x 得到 %3D%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%5Cint_%5Cmathbb%20Rf(ax%2Bb)%5Coverline%7B%5Cphi(x)%7Ddx)
, 可以看到 a=0 时 W[f](a,b)=0. 为了方便, 下面记小波变换为 W(a,b).
与 DWT 类似, 选取 CWT 的小波函数也是有要求, 但不同的是, CWT的小波函数是连续平移的, 所以不需要满足标准归一性, 甚至不需要满足尺度对称性, 于是对于 CWT 来说, 小波函数仅需满足: 1) 呈指数衰减, 2) 积分为 0.
对于上述形式的小波变换, 其逆变换为 %3D%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%5Cphi%7D%5Cint_%7B%5Cmathbb%20R%5E2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E2%5Csqrt%7B%7Ca%7C%7D%7DW(a%2Cb)%5Cphi%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-b%7D%7Ba%7D%5Cright)dadb)
, 其中 %7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu)
. 下面部分将证明这个逆变换.
首先需要证明 
是有限的. 把积分分为两部分: %7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%2B%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%3C1%7D%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu)
, 其中左边部分由 %7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%20%5Cleq%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%5Cgeq1%7D%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(%5Cnu)%7C%5E2d%5Cnu%5Cleq%5Clangle%5Cwidehat%20%5Cphi%2C%5Cwidehat%20%5Cphi%5Crangle%3D%5Clangle%5Cphi%2C%5Cphi%5Crangle%3B%5C%3B%5Cphi%5Cin%20L%5E2(%5Cmathbb%20R))
证出. 对于右边部分, 因为 %3D%5Cwidehat%20%5Cphi(0)%2BO(%5Cnu))
, 所以有 %7C%5Cleq%20%7C%5Cwidehat%20%5Cphi(0)%7C%2BC%7C%5Cnu%7C%3B%5C%3B%7C%5Cnu%7C%3C1)
, 由于选取小波函数的第二个条件, 所以 %3D%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cphi(x)dx%3D0)
, 即 %7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%5Cleq%5Cint_%7B%7C%5Cnu%7C%3C1%7D%5Cfrac%7B%7CC%5Cnu%7C%5E2%7D%7B%7C%5Cnu%7C%7Dd%5Cnu%3DC%5E2)
.
对逆变换的 b 分量进行傅里叶变换: 
, 亦即 
, 可以得出小波逆变换等价于 %7D%5Cright%5D(%5Cnu)%7D%5Cmathcal%20F_b%5BW(a%2Cb)%5D(%5Cnu)d%5Cnu)
.
由傅里叶变换的性质可以得出 %7D%5Cright%5D%7D(%5Cnu)%3Dae%5E%7Bi%5Cnu%20x%7D%5Cwidehat%5Cphi(a%5Cnu))
. 而对于 %5D(%5Cnu))
, 交换积分顺序整理得到 %7D%5Cright%5Df(x)dx)
, 亦即 %7D)f(x)dx)
, 整理得到 %7D%5Cwidehat%20f(%5Cnu))
.
于是得逆变换为 %7C%5E2%5Cwidehat%20f(%5Cnu)e%5E%7Bi%5Cnu%20x%7Dd%5Cnu)
, 交换积分顺序得到 e%5E%7Bi%5Cnu%20x%7Dd%5Cnu%5Cint_%5Cmathbb%20R%5Cfrac%7B%7C%5Cwidehat%5Cphi(a%5Cnu)%7C%5E2%7D%7B%7Ca%7C%7Dda)
. 计算右边积分的值: 假设 ν≠0, 那么使用 a/ν 替换 a 得到 %7C%5E2%7D%7B%7Ca%7C%7Dda%3D%5Cfrac%7BC_%5Cphi%7D%7B2%5Cpi%7D)
. 代入上式得 e%5E%7Bi%5Cnu%20x%7Dd%5Cnu%3Df(x))
, 亦即证得小波逆变换的正确性.
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