【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。  

第十三章万有引力定律

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】

§13-2万有引力定律

【01】开普勒定律只指出了各种行星是怎样运动的，但没有说明为什么它们这样运动，或者说，它们在怎样的力的作用下才这样运动。这个问题直到十七世纪末牛顿发现了万有引力定律后，才得到解决。

【02】牛顿在前人研究的基础上，又作了长期和细致的研究。他认为行星围绕太阳运动的向心力，就是太阳对行星的引力；月球围绕地球运动的向心力，就是地球对月球的引力。他还认为，这种天体之间的引力和地面上物体所受到的重力有相同的本质，最后他得出这样的一个结论：任何两个物质的质点都是相互吸引的，引力的大小与两个质点的质量的乘积成正比，并与它们间距离的平方成反比。这就是大家所熟知的著名的万有引力定律。

【03】如果用 m₁ 和 m₂ 表示两个质点的质量，r 表示它们之间的距离，F 表示它们相互作用的引力，那么，这个定律可以用下面的公式来表示：，式中子是比例常数，叫做引力恒量。

【04】对于两个物体来讲，如果它们之间的距离非常远，或者它们之间的距离比它们本身大得多，就可以把它们看作是质点，而直接运用上面的公式，例如，各行星和太阳之间的引力，地球和月球之间的引力等。如果两个物体之间的距离不太大，计算就比较复杂，并且还需要应用高等数学，我们在这里不准备叙述。但是也有一些特殊的情况，例如对于两个质量分布均匀的球体来讲，可以把它们的质量看作是集中在重心这一点上，并且把两个球体都按照质点来处理，直接应用上面的公式，这时 r 表示两个球心之间的距离。

【05】万有引力定律可以用实验来证明。其中最有名的叫做卡文迪许实验。实验的装置如图13·1所示。在石英细丝 D 上悬挂着一根非常轻的细棒。悬挂点在棒的中央。棒的两头分别固定着质量相等的小铅球 m₁ 和 m₂  。再把两个质量相等的大铅球 M₁ 和 M₂ 分别放在 m₁ 的前方和 m₂ 的后方，并且使 M₁ 和 m₁ 的距离与 M₂ 和 m₂ 的距离相等。这时由于大球对小球的引力使细棒转动，于是石英丝 D 也就跟着扭转。石英丝最后静止的位置，就是它由于扭转而产生的弹力矩与大小铅球的引力矩相平衡的位置。所以求出石英丝扭转的弹力矩和两个小铅球之间的距离，就可以知道大小铅球之间的引力。

【06】石英丝扭转的弹力矩可以根据它扭转的角度来确定，而这个扭转的角度又可以从固定在它上面的小镜子把原来垂直入射到它上面的光线反射回来的角度来推算。知道了扭转的弹力矩后，便可计算出大球和小球之间的引力来。这样，再改变所用铅球的质量和大小铅球之间的距离，就可以证明万有引力定律。

【07】利用这个实验数据，还可以计算出引力恒量 f 的数值。

【08】从实验结果知道，两个质量都是1克的质点，在相距1厘米时它们相互作用的引力是1/15,000,000达因。所以，在万有引力定律的公式中，如果质量用1克作为单位，距离用1厘米作为单位，力用1达因作为单位，则 f 的数值等于1/15,000,000  。现代公认为最准确的 f 的值是 f＝6.67 ×10⁻⁸ 厘米³/克・秒²（达因·厘米²/克²）。

例1.试用万有引力定律求地球的质量及其密度。

【解】

(1)我们知道，质量为1克的物体在地面附近受到的地球的引力大约是980达因，它与地球中心的距离可以近似地取作6400公里＝64×10⁷厘米。设地球的质量为 M，则应用万有引力定律公式得，M＝980×15×10⁶×(64×10⁷)²≈6×10²⁷克。

(2)把地球当作一个球体来处理，则它的体积V为。

        所以，设地球的平均密度为ρ，则

        即地球的平均密度是5.5克/厘米³。因为已知地球表面附近的岩石的平均密度约为2.7克/厘米³，可见地面下更深的地方的物质的平均密度一定比接近地面的物质的平均密度大得多。

例2.地球绕太阳运动的线速度大约等于30公里/秒，地球运行轨道的半径是15×10⁷公里。求太阳的质量。

【解】我们知道，地球绕太阳运动的向心力，就是太阳对地球的引力，因此，设地球的质量为m，太阳的质量为M，地球运行的轨道的半径为 R，地球的线速度为v，则根据向心力公式和万有引力定律公式，得

        即。

        以v＝30公里/秒＝3×10⁶厘米/秒，R＝15×10⁷公里＝15×10¹²厘米，代入，得。

【09】从例1和例2所得的结果可知，地球的质量大约只有太阳质量的三十万分之一，由此可见太阳的质量是多么地巨大！

习题13-2

1、地球距离太阳约为1.5×10⁸公里，绕太阳转动的周期是365天，求太阳的质量。[提示：用]【约2×10³³克】

2、假定质量同是20吨的两个均匀球体的中心距离等于5米，求它们相互作用的力。【约107达因】

3、取地球的质量为6×10²⁷克，月球的质量为7.3×10²⁵克，两球中心的距离为3.84×10¹º厘米，月球绕地球运动一周所用的时间是2.36×10⁶秒。试根据这些数据证明，地球对月球的引力等于月球围绕地球运动所需的向心力。[提示：用万有引力定律公式求出地球对月球的引力，再用向心力公式求出月球绕地球运动所需的向心力，比较两个结果]

4、火星的半径约为地球半径的一半，火星的质量约为地球质量的1/9，如果在地球上重50公斤的人飞到火是上去，他的重量将是多少？质量是多少？【约22.2公斤，不变】