对"必要性探路"方法的探索

2023-10-30 19:38 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

对于含单参数恒成立的导数题，已经算是陈题了，但其也不时会在试卷上碰到。于是这篇专栏就主要带大家；练习对这个方法的使用。(其优越性以及完善历程也会囊括其中)

先来一道真题来讲下这类题的常规考法：

今年(23年)的全国甲卷导数题：

第(1)问热身，不多赘述，来看到第(2)问

等价变形得：

$%5Cforall%20x%5Cin(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%2Cg(x)%3Dax-%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7B%5Ccos%5E3x%7D-%5Csin2%20x%3C0%20$

一开始这个方法的名字叫"端点效应"，顾名思义就是从代端点求出临界值(因为在没有反套路的题之前这类题的临界值都是在端点的，这道题就是如此)

第一步：探路

注意到 $g(0)%3D0$ ，则原不等式成立的一个必要条件为： $g'(0)%5Cleqslant%200$

这个必要条件是保证g(x)在0的右边附近不能递增，这是保证了局部满足条件，因此才说这个只是必要条件。注意这个"必要条件"的字眼，也即真正的范围可以刚好是这时求出的范围，也可以是比求出的范围小，这一点从这里起就得引起重视

我们来看看如果 $g'(0)%3E%200$ 会出现什么情况：

这时在0的右侧附件就会递增，于是比x稍微大一些(这个"一些"足够小但始终有影响)时函数值就>0，因此不满足条件，故必要条件为 $g'(0)%5Cleqslant%200$ 。也就相当于，经过这一波试探我们排除掉了g'(0)>0这些一定不满足题意的情况

$g'(x)%3Da-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D%20-2%5Ccos%202x$

$g'(0)%5Cleqslant%200%5CRightarrow%20a%5Cleqslant%203$

我们得到了这么一个必要条件，于是期望这个就是最终答案，那么就"尝试"证明其充分性。如果成功，那么这个就是最终答案。

所以从这里开始是带着"尝试"去碰一下运气的，因为具体行不行这是出题人决定的。(当然提前剧透一下，这道题是成功的)

于是就来到第二步

第二步：全参放缩

由 $a%5Cleqslant%203$ 得：

$g(x)%5Cleqslant%203x-%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7B%5Ccos%5E3x%7D-%5Csin%202x%3Dh(x)$

因为x是>0的，所以在 $a%5Cleqslant%203$ 两边同乘x，不等号方向不改变，即 $ax%5Cleqslant%203x$

下面我们就"尝试"证明 $h(x)%3C%200$ (这就是前文提到的"尝试"的这一步)，如果成立，那么根据不等式的传递性，就证明了 $g(x)%5Cleqslant%20h(x)%3C0$ 成立

$%5Cbegin%7Balign%7D%0Ah'(x)%26%3D3-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D%20-2%5Ccos%202x%5C%5C%0A%26%3D3-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D%20-2(2%5Ccos%5E2x-1)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B-(t-1)%5E2(4t%2B3)%7D%7Bt%5E2%7D~~%7B%5Ccolor%7BGray%7D%20%7B(t%3D%7B%5Ccos%5E2x)%7D%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cfrac%7B-(%5Ccos%5E2x-1)%5E2(4%5Ccos%5E2x%2B3)%7D%7B%5Ccos%5E4%20x%7D%5C%5C%0A%26%3C0%0A%5Cend%7Balign%7D$

这里的h'(x)不用再重新求一次，直接在前面的g'(x)中赋值a=3就行了。只是后面整理的时候关于t的三次方程要试一下根，x=0时h'(x)为0，于是有(t-1)这个因式，然后长除法逐次因式分解即可

$%5CRightarrow%20h(x)$ 在 $(0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)$ 递减

于是 $h(x)%3Ch(0)%3D0$

即 $g(x)%5Cleqslant%20h(x)%3C0$

故范围充分性得证

综上，a的取值范围为： $(-%5Cinfty%20%2C3%5D$

以上是思路连带具体过程的分析，为了方便读者整理，以下贴出"卷面"答案(即省略思路的过程)

上面的这道题是常规的考法，那么有没有比较坑的考法呢？有，而且也是一道真题！

20年的全国I卷导数题：

第(1)问也是热身，求两次导即可，来看到第(2)问

(2)

等价变形得：

$%5Cforall%20x%5Cgeqslant%200%2Cg(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20%2Bax%5E2-x-1%5Cgeqslant%200$

按照前文的思路，我们考虑探端点： $g(0)%3D0$

$g'(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2%2B2ax-1%20%2Cg'(0)%3D0$

g'(0)还是0怎么办呢？就需要借助更高阶导来判断，也就是先看g'(x)在x=0附近的单调性从而判断g'(x)在该附近的正负，从而判断g(x)在x=0附近单调性，从而判断g(x)在x=0附近正负

$g''(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-3x%2B2a%20$

$g''(0)%3D1%2B2a%5Cgeqslant%200%5CRightarrow%20a%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$

也就是需要保证g'(x)在x=0右侧附近是递增的，才能保证g'(x)在x=0右侧附近>0，才能保证g'(x)在x=0右侧附近递增，才能保证g(x)在x=0右侧附近>0

得到了这个必要条件，再进行全参放缩：

此时，

$g(x)%5Cgeqslant%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2-x-1%3Dh(x)$

下面"尝试"证明h(x)>=0,。注意我一直强调从这一步起需要"尝试"，所以难免会失败，比如这题就失败了，而且在考场当下你还不自知。因为我前面说过了能否成功这是题目决定的。

我们(开启上帝视角)来看看h(x)的图像：

图像在x=0右侧附近确实保证了递减，但这只是"局部"满足呀，对于后面是什么情况我们一无所知！这题就是此法的一次重大"失效"。

既然出了问题，我们就要想办法去解决并对此法进行完善~于是有了以下更完善的步骤：

实际上，"探路"不一定必须要代端点的，代任何一个点都能对应一个a的取值范围，如：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26g(1)%3Da%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cgeqslant%200%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D-%5Cmathrm%7Be%7D%5C%5C%0A%26g(2)%3D4a%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E2-7%5Cgeqslant0%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D%20%5C%5C%0A%26g(3)%3D9a%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E3-%5Cfrac%7B35%7D%7B2%7D%20%5Cgeqslant0%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B35-2%5Cmathrm%7Be%7D%5E3%7D%7B18%7D%20%5C%5C%0A%26...%0A%5Cend%7Balign%7D$

注意，上面只是举例说明方便理解，不是真的要逐个代

那么将这些"必要条件"对应范围取交集即可得到答案，换而言之我们就需要找到对应最小范围的那个临界值x

那么如何找呢？还是优先考虑特殊情况，其中一个特殊情况也就是前面提及的端点，而还存在另一种临界情况，也就是g(x)恰与x轴相切的情况：

也就是我们还要考虑以下这种情况，这时临界值就不是"端点"而是"内点"(区间内的点)了

具体怎么求呢？

既然是与x轴相切，那就得令g(x)=0(求零点),g'(x)=0(使得零点处导数恰=0)解方程组

令 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ag(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20%2Bax%5E2-x-1%3D0%5C%5C%0Ag'(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2%2B2ax-1%20%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

整理得： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20-x-1%3D-ax%5E2%5C%5C%0A%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2-1%20%3D-2ax%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

两式相比再交叉相乘得：

$-2x(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20-x-1)%3D-x%5E2(%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E2-1%20)$

这其实就是解方程很常规的消元思想(把a消去)

整理得： $x%5B(x-2)e%5Ex-(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3-x-2)%20%5D%3D0$

所以到此你会发现，x=0只是其中一个临界值而已。

对于第二项，由于e^x前面有x-2，考虑令x=2，发现刚好为0，因此可以对后面的3次式长除因式分解(这个x=2就是另一个隐藏得很深的临界值)

因式分解得：

$x(x-2)%5B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2B1%20)%5D%3D0$

最后剩下的第3项只是试x=0了(毕竟只有当x=0时e^x的值才是有理数)，这时第3项也为0(如果了解多的话就能看出第3项其实是e^x的二阶泰勒展开~)

综上，我们求出了两个临界值：x=0,x=2

把第一个临界值带进去发现=0，然后借助该点的逐阶导数判断，前文已经求得这个临界点对应的范围： $a%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$

再把x=2带进去，即 $g(2)%3D4a%2B%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E2-7%5Cgeqslant0%5CRightarrow%20a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D$

先把这两者取交集，即得必要条件： $a%20%5Cgeqslant%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B4%7D$

你看看，第二个临界值求得的必要范围比第一个临界值求得的必要范围小，因此足以说明一开始只探端点的工作不够了，所以才要考虑对该法进行如上的优化

此时，

$g(x)%5Cgeqslant%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3%20%2B%5Cfrac%7B7-%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E2%7D%7B4%7D%20x%5E2-x-1%3Dh(x)$

再尝试证明h(x)>=0

剧透：这时h(x)>=0就成立了

剩余的步骤就很流畅了(当然在不知道答案时还是会因"尝试"保持一定的疑虑)

以下是证明的进一步优化：要证明这个不等式，直接求要求3次导，有些繁琐了，我们可以考虑使用"指数找朋友"的等价变形方法，两边同除以e^x，再求导，你会发现这时求导会方便很多。这个方法可以先参考其他视频或资料，这篇专栏就先以"必要性探路"为主题。

于是有了以下的卷面书写：

写到这里已经超过2000字，估计篇幅也有些长了，读者们就先把必要性探路的优化方法消化一下吧，后面还会再补充分享下另一种常见的误区，留到下一篇专栏再讲吧，先给出以下例题当练习以检验学习成果[滑稽]：

锦囊：其中(2)的临界值在端点，(1)(3)的临界值在内点，分别为： $x%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%2Cx%3D1%20$

公布答案以便核对：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A(1)%5B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D-1%2C%2B%5Cinfty%20)%20%20%5C%5C%0A(2)%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%2B%5Cinfty%20)~~~~~~~%20%20%5C%5C%0A(3)%5B5-2%5Cmathrm%7Be%7D%2C%2B%5Cinfty%20)%0A%5Cend%7Balign%7D$

Q.E.D.

标签：

对"必要性探路"方法的探索

第一步：探路

第二步：全参放缩

20年的全国I卷导数题：