背景：

Phong和Blinn-Phong的经验模型过于经验，没有严谨的物理定义，所以计算机图形学急需要一个能够符合物理基本规律的光照知识，这就是辐射度量学提出的背景（基于物理光学）。

概念：

1. 辐射能，单位是焦耳，是能量，表示穿过一个曲面（类似于电磁学的高斯面）的光能。

2. 辐射通量

3. 立体角（针对球面坐标系），类比于平面角（针对极坐标系）：

可以得到立体角的公式：

如图所示，设球面上的单位面积为，那么可以算出：

4. 辐射强度(Radiant Intensity)，单位为cd（坎德拉），在光学中叫做光强。他表示单位立体角的辐射通量：

5. 辐照度(Irradiance)，表示单位面积的辐射通量：

可以看出，这个量类似于我们在电磁学学到的磁通量定义公式：

所以，可以表示一个球面（或者叫高斯面）上单位面积的接收到光强。那么和有什么区别呢？表示的是一个球面上单位面积的接收到光强，而表示的是一束光的光强而已。

这个理论可以解释为什么在Phong模型中，光强按照平方阶次衰减。

如图，离光源最近的辐照度（半径为1），而距离光源为的辐照度，所以两者的比值是，这就证明了衰减是平方衰减。（可以看出来这里和电磁学非常相似，道理都是相通的）

6. 辐射率(Radiance)，又叫光亮度。这是最常用（最重要）的一个物理量，也是构建渲染方程的主要物理量。他每表示单位立体角，每单位垂直面积的辐射通量。很像是Intensity和irradiance的结合。它同时指定了光的方向与照射到的表面所接受到的亮度。（就是这个单位面积在某个方向上吸收的光能）

其中是入射点。

那么和的关系是啥呢？作如下变形：

这样进一步得到：

其中是上半球。所以这个式子很好解释了Radiance是单位面积在某个方向上接受到的光强，而Irradiance是整个Radiance的求和（即所有方向上接收到的光强的总和）。

BRDF函数与渲染方程：

考虑一个位置为的单位面积，接收到某个方向的光强，经过材质的吸收能量后，反射出的光强为，为了衡量反射出的光强与入射的光强的关系，类比于反射率的定义，我们定义一个函数来表示这个关系：

这个函数，就是BRDF函数。因为这个函数的物理意义就是反射率，所以又叫做反射率函数。

因此，反射出的光强可以解出来是：

这就是反射方程。

考虑到物体还能自身发光，所以反射出的光强还包括物体自身的光强：

这就是渲染方程。

渲染方程的物理意义

渲染方程可以这样写：

大部份物理意义上面已经说过了，因为这里的积分其实本质是一种卷积，所以可以用算子来简化，这里讲解一下算子理解，为了简化方程，我们可以这样写一个方程大致表示渲染方程：

这是一种递归的写法，$L$为反射光强，$E$为光源光强，而$K$是反射算子（一种矩阵）。由线性代数的知识有：

由泰勒展开，有：

所以反射光强：

所以可以理解为，反射光强等于光源光强，加上光源经一次反射后的光强，加上光源经两次反射后的光强，以此类推。这就是真实的全局光照了。

蒙特卡诺积分

现在有了渲染方程，但如果直接数值方法计算定积分，效率太低了。所以引入概率学的蒙特卡诺方法，类似于几何概型。

蒙特卡诺方法会将：

以概率的角度，求出他的近似值。

考虑一个函数图像：

选定一个随机变量，遵循某种分布。从这个分布随机挑选出一个值，因为这个集合关系，所以就会导致的范围为：

所以决定了矩形的宽度，可以用来计算矩形面积。

然后取作为矩形的高度，然后计算矩形面积：

重复$N$次，最后取算术平均数，就是这个积分的近似值了（是不是很像几何概型）：

于是：

如果我们采用均匀分布，那么，就有，这个时候每次的获取的矩形面积的宽度都是，于是每次随机计算出的矩形面积为：

于是：

证明蒙特卡诺积分的正确性

因为蒙特卡诺是概率模型，我们计算数学期望，如果值就是积分本身，那么这个模型就是正确的：

证明完毕