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(高一党)俺提出了一个猜想!(雾)

2022-02-09 12:35 作者:青肉Ong-gia  | 我要投稿

看到这个封面,你有没有联想到勾股定理,没错,它和我们今天的主题……大概可能或许maybe有一点点关系

我们的主题要从下面这个不定方程开始

已知a²+b²=900,求其自然数解

这个东西解法蛮多,比如这个方程里可以看出a,b都是2,3的倍数,也就是6的倍数,两边约掉36,得(²a/6)+(²b/6)=25,瞪眼看出两解为3,4,所以a,b分别为18,24

当然,本文主题是另一种解法

先导知识:高斯整数,高斯整数是指形如a+bi(a,b∈Z)的数。

对900进行质因数分解,900=2²×3²×5²,再重新组合一下900=(2×5²)×(2×3²)=50×18,为啥要这么分捏,原式=(7²+1²)×(3²+3²),接下来我们构造复数z₁=7+i,z₂=3+3i,那么z₁,z₂的模长就分别是√50和√18,而z₁z₂相乘,模长相乘,所以复数Z=z₁z₂=(7+i)(3+3i)=18+24i的模长为√900,即18²+24²=900,即18,24便是方程的解。因为加减乘运算对整数是封闭的(整数与整数进行加减乘得到的仍是整数),所以我们将原数分解成整数平方和相乘的形式,然后构造高斯整数,便能保证最后得到的仍是高斯整数(有些时候不一定要分成两个高斯整数,比如2020=(10²+1)×(3²+1)×(1+1))

up主的猜想便是,对于方程a²+b²=c(abc为自然数,c为合数),上述的方法总是成立的,即对于两个整数的平方和,总是可以把他分解成其他整数平方和相乘的形式

可以这么表述吧

up尝试了一下,奈何数论过于垃圾没证出来,以下是up的一些验算

实际不止算了这么多

OK,如果有大佬证明或证否的可以在评论区吱一声吗(´◊ω◊`)

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