微分几何笔记|4曲面的第二基本形式

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主要参考书籍：(Dover Books on Mathematics) Manfredo P. do Carmo - Differential Geometry of Curves and Surfaces-Dover Publications (2016)

其他参考书籍：《复杂曲面数字化制造的几何学理论合方法》 丁汉 朱利民 著
参考课程：微分几何 同济大学 贺群

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本篇主要参考视频：贺群老师微分几何第28讲

在上篇文章中我们学习了曲面的第一基本形式【微分几何笔记|3曲面的第一基本形式】，他可以对曲面的内蕴性质进行研究，即在曲面上的许多几何量和几何性质，其不依赖于曲面在空间中如何弯曲的。所以为了探究曲面在空间中的弯曲特性，我们引入了曲面的第二基本形式。

1.推导

曲面的第二标准形式的思想是通过度量曲面远离其切平面的速度出发的。如图：

在曲面上存在一点P0以及他的临近点P，那么我们通过度量点P距离点P0处的切平面的距离，可以用向量与切平面法向量的内积来表示:

其大小就能表示为曲面远离切平面的程度。

那么考虑曲面上的点以及临近一点，那么向量为：

对其使用泰勒展开（为什么此处能用泰勒展开式呢？见知乎文章[偏导数、微分、以及导数到底有什么关系和区别？](https://www.zhihu.com/question/265021971/answer/288270304)，这里是偏导，dr是微分，是对一个无穷小区间的变化的量的线性逼近）

那么（因为一阶dr与法向量n垂直内积为0），将dr^2展开，可以得到

这是一个关于dudv的二次型，也是我们接下来可以推出的第二标准形

2.定义

定义曲面的第二基本形式为

也可用系数LMN表示，即=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2

另外由于,故还可以写成另外一种形式：

进而表达成矩阵的形式：

其形式类似于一种双线性映射，而第二基本形式是带入dr的特例：

3.性质

不变性：定理：Ⅱ在保持定向的参数变换以及合同变换是不变的，否则会改变符号

参数变换：更改曲面网的参数

合同变换：相当于旋转+平移的刚体运动

4.计算

参数LMN都可以直接利用拉格朗日恒等式进行计算

其中是混合积，EFG是第一标准形的参数

举例：