何为链，链是什么？链是一种动态、灵活的证明思路链条。

Part 1 摩天楼（Skyscraper）

如图所示，我们观察到一个特别的结构。首先是r39，r39上都有关于4的共轭对，分别是r3c48(4)和r9c47(4)。而奇怪的是，它长得很像之前学习到的一种数独技巧：孪生二链列，而且用这个技巧完全可以得到应有的所有删数。而现在我们用另外一个视角来看这个结构。r3c8(4)一共有两种可能：要么r3c8 = 4，要么r3c8 <> 4。那么我们来看一下，当r3c8 <> 4时，会怎么样呢？

当r3c8 <> 4时，由于r3(4)共轭对，所以r3c4 = 4，所以r9c4 <> 4了。于是，r9(4)共轭对就用起来了：因为r9c4 <> 4，所以r9c7 = 4。那么缩略一下说法，就是当r3c8 <> 4时，r9c7 = 4。

而r3c8 = 4是另外一种情况，这意味着r3c8自己可以直接填4。

所以综上，一共只有两种填数情况，却导致了r9c7和r3c8里面至少一个单元格是填4的，所以r9c7(4)和r3c8(4)共同对应的地方，就不应该填入4；否则它将使得这两个单元格都不能放4，出现违背结论的矛盾。

那么，为什么说“至少有一个单元格”，而不是“有且仅有一个单元格”呢？这一点，我们在Wing结构一节里面已经提到过一部分原因，这里针对这个题目再阐述一下：虽然看似r3c8拥有填4和不填4的两种填法是“互斥”的两种情况，但是“当r3c8 <> 4时，r9c7 = 4”成立，也并不意味着“当r3c8 = 4时，r9c7 <> 4”就一定成立。所以r3c8 = 4时，也是有可能使得r9c7 = 4的。所以我们说r9c7和r3c8至少有一格是填4的。

由于r3c8(4)和r9c7(4)至少一个单元格填4，所以不管怎么个情况，它们共同对应的地方，就不应该再含有候选数4，所以删除掉它们。对应图中的话，就应该为r1c7, r7c8 <> 4。

这个技巧称为摩天楼（Skyscraper），而摩天楼是属于双强链（Two-strong-link Chain）里面的一个特殊的结构。那么，什么是双强链呢？双强链，顾名思义，也就是有两个强关系的链。那，什么是强关系呢？接下来我们来介绍一下，关于标准链的基本术语及内容。

Part 2 基本链理论和术语

我们从刚才的示例之中，学习到了双强链的其中一个特殊结构：摩天楼。我们定义出几种说法，为了方便观察和理解：

• 真（True），指的是某一个候选数直接填入到盘面之中的情况，即用等号=表示的情况；

• 假（False），指的是某一个候选数从盘面之中消失的情况，即用不等号!=或<>表示的情况；

• 强关系（也称强链关系，Strong Inference）：如果某一候选数为假，则得到另外一个候选数为真的，就称这两个候选数有强关系；

• 弱关系（也称弱链关系，Weak Inference）：如果某一候选数为真，则得到另外一个候选数为假的，就称为两个候选数有弱关系；

• 节点（Node）：结构的每一个真假讨论的点都是一个节点；

• 链头或链首（Head），指的是链结构在推导过程之中的第一个节点；

• 链末或链尾（Bottom），指的是链结构在推导过程之中的最后一个节点；

• 交集或共同作用域（Intersection），指的是链头和链尾共同对应的地方（或者说，都可以看得到的地方）。

那么来总结一下刚才的推导方式：

分某一个候选数的真假两种填数情况进行讨论，当其为假时，引出一个真和假的交替推导序列，然后得到尾部为真的情况。而因为头部还有可能为真，所以头尾的两个候选数至少有一个为真，因此删除头尾两候选数的交集。

那么，这个“真和假的交替推导序列”就被称为标准链（简称链，Alternating Inference Chain，简称AIC）。一般而言，只要我们画出标准链结构，就可以直接在图上体现逻辑，也就可以不需要给不知道逻辑的小伙伴讲解了。

Part 3 链的呈现方式

链可以用文本形式或图像形式呈现，下面来说明一下，如何使用文本形式表达。

我们使用候选数1==候选数2或候选数1=候选数2的方式，表示两个候选数形成强关系，例如r3c4(4)==r3c8(4)或r3c4(4)=r3c8(4)都表示这两个数形成了强关系；而使用候选数1--候选数2或候选数1-候选数2的方式表示两个候选数形成弱关系，例如r3c4(4)--r9c4(4)或r3c4(4)-r9c4(4)都表示这两个数形成了弱关系；而图上的链写作

另外，如果候选数涉及相同数值，那么可以直接写单元格，而省去候选数数值，将它写在最后，比如前面的示例里的文本书写格式可以简化为

下面来说一下如何使用图像呈现链结构。一般来说，我们呈现链结构的时候，将使用箭头画法，来表示推导的顺序和方向。并用实线箭头表示强关系，虚线箭头表示弱关系。如图所示，这是前面示例的链画法。

Part 4 原理进一步剖析

4-1 链的头尾可以同真吗？

显然，这一点在刚才的题目文字里已经说明了。链头假设为假的时候，可以得到链尾为真；而链头还可能为真，所以删去交集。虽说两种假设是互斥的，但不代表结论就必须和假设一样互斥。结论的内容是通过假设得到的；但结论可能通过其它渠道得到，并不是仅通过唯一的方式来得到，而且我们在这个题目的解尚未得到之前，任何情况都是可能存在的，甚至我们可以找到两条链，得到同一个候选数既可以真又可以假。你可能会说，这不是不可能吗？这是可能的，原因在于我们是通过我们自己设定的假设前提才得到的结果，而假设和结论实际上并没有直接的关系。所以，链的头尾可以同真。

从数学的角度出发，高中你一定学过命题与逻辑一节，我们提到过，原命题和否命题的真值无直接关系（也就是说。原命题不管是真还是假，否命题都无法确定其真假性）。而我们可以注意到，候选数a假得到候选数b真和候选数a真得到候选数b假显然是互为否命题的，而它们并没有直接的真假性的关联，所以一个命题即使能够得到，也推不出另外一个命题。

我们来这一则示例里的摩天楼技巧，再对比题目的解来看，就可以发现，链的头尾确实是同真的。

可以看到，r5c6(2)和r9c4(2)在终盘下确实同真，而题目确实是唯一解的。

4-2 链的长度有什么结论吗？

在刚才介绍了相关术语之后，我们就可以把之前的逻辑用强弱关系重新解释一遍了。

设r3c8(4)为假，则r3c8(4)和r3c4(4)有强关系，r3c4(4)和r9c4(4)有弱关系，r9c4(4)和r9c7(4)有强关系。

因为逻辑的推导是“假 -> 真 -> 假 -> 真”这样，设开头为假，并且真假交替出现的，所以AIC具有两个基本特性：

• 链必须以强关系开头、强关系结尾；

• 链强弱关系是交替出现的。

那么，还有一个由这两点可以得到的推论。必须强关系开头、强关系结尾，并且强弱关系交替出现，那么结构只可能是“强弱强”、“强弱强弱强”等等了，那么强关系数量始终会比弱关系数量多一个。那么强关系设有n个的话，弱关系就得有(n-1)个，那么组合形成的AIC就有(2n-1)个。因为n是正整数，所以(2n-1)就应该是一个单数（正的奇数）。所以，AIC的长度（Length），即AIC涉及的强弱关系的总数，就一定是一个单数。而节点数量一定比长度大1，所以节点数应该为2n个，则为一个双数（正的偶数）。

那么，双强链，顾名思义，这种结构必须只能有两个强关系；而它具有两个强关系和一个弱关系，所以双强链的长度一定为3。

4-3  “强-强-强”也是链？

再来看一则问题。比如示例上的c4(4)。因为c4(4)也是共轭对，所以它肯定可以满足强关系的定义：当r3c4 <> 4时，r9c4 = 4。那为什么r3c9(4)和r9c4(4)就必须得是弱关系？

因为我们在使用链的过程之中，强弱关系是交替出现的。换句话说，真假情况是交替出现的，而当AIC的开头r3c8(4)假设为假后，推理到r3c4(4)时，就已经是真了，所以r3c4(4)和r9c4(4)使用的是弱关系的定义。虽然，这里确实也满足强关系这一说法。

也就是说，网上给出的一部分资料，写的是“‘强强强’的标准链结构亦成立”，这种说法是错误的，它犯了本质性的错误。希望你务必引起注意和重视。

在阐述了基本表达方式后，接下来我们继续介绍双强链结构。

Part 5 双线风筝（Two-string Kite）

如图所示，如果r1c9(8)为假，则r1c5(8)真，r3c4(8)假，r7r4(8)真。但是，r1c9(8)还可以为真。所以两种情况之下，r1c9(8)和r7c4(8)至少一个为真。故删除两个候选数共同对应的位置，即r7c9(8)。

链文本表示如下：

这个结构称为双线风筝（Two-string Kite）。

Part 6 普通双强链

如图所示，假设r1c3(7)假，可以得到r5c9(7)为真，所以r1c3(7)和r5c9(7)至少一个为真，故删除交集。

这个结构称为普通的双强链。

根据技巧的发现者描述，双强链一共分为摩天楼、双线风筝和普通的双强链三种，而由于双线风筝和摩天楼的形状较为特殊，技巧发现者优先发现这两种结构，并随即为其取名。后续的不属于双线风筝和摩天楼的则没有自己单独的名称。

摩天楼的两个强关系是产生于同两行或两列的，而双线风筝的两个强关系则产生于某行和某列。如果不满足上述两个要求的，就是普通的双强链。换句话说，摩天楼的强关系是“平行”的，而双线风筝的强关系则是“垂直”的，而强关系既不平行也不垂直，只能算是普通的双强链结构。

Part 7 共轭对和强关系的异同

那么，双强链的基本构型我们就学到这里。之所以阐述双强链，是因为有两大好处：一来是为了让你更清晰地掌握链这个数独技巧，从较短的链开始学习；二来，这种结构由于简单，所以非常好观察，只需要我们经常去关注共轭对就好。不过，根据之前的理论，我们发现，共轭对就产生于同一个区域下只有两个位置可填的情况，而定义恰好也满足强关系的。

实际上，强关系的定义比共轭对更宽泛一些，共轭对指的是同区域下只有两个位置可填的相同数字，或是同一双值格下的两个候选数。但跨区域下的不同数字，共轭对并不包括在内，而强关系在之后，我会告诉大家如何去寻找和使用这样的特别情况。所以你只需要记住一点，因为目前的强关系的定义可以完全用共轭对实现，所以我们就用共轭对来寻找吧！共轭对找起来会很快的哦！