拉氏变换的卷积性质和函数正交性

2023-08-26 23:13 作者:awyayb 0人读过 | 我要投稿

在上文提到的拉普拉斯变换，还有如延迟性质等在处理信号中常用的性质。这里就不再赘述，接下来讲解一下更为重要用途更广的卷积性质,先来

卷积： $(f%5Cast%20g)(x)%3D%5Cint_%7B%5Cmathcal%7BD%7D%7Df(y)g(x-y)dy$ 。而在时域上的函数，定义域为 $t%5Cin%20%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ 。卷积就写成 $(f%5Cast%20g)(t)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)g(t-%5Ctau)d%5Ctau%20$

由此，就可以来推导拉普拉斯变换的卷积性质。 $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cmathcal%7BL%7D%5Bf(t)%5D%5Ccdot%20%5Cmathcal%7BL%7D%5Bg(t)%5D$ 。这是一个非常好的性质，可以把本身复杂的函数乘积后的积分变成了两个函数之间的相乘。极大的简化了求解时的运算。证明：将卷积 $(f%5Cast%20g)(t)$ 带入拉氏变换当中， $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)%5Ccdot%20g(t-%5Ctau)d%5Ctau%5De%5E%7B-st%7Ddt$ 由于积分区域连续，所以可以交换积分顺序，使得 $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)%5B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Dg(t-%5Ctau)e%5E%7B-st%7Ddt%5Dd%5Ctau$ ，可以很显然的发现，中括号里就是对函数 $g(t-%5Ctau)$ 的拉普拉斯变换。利用上文所说的时移性质，可以得到中括号里的积分等于 $%5Cmathcal%7BG%7D(s)e%5E%7B-s%5Ctau%7D$ ，所以 $%5Cmathcal%7BL%7D%5B(f%5Cast%20g)(t)%5D%3D%5Cmathcal%7BG%7D(s)%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Ctau)e%5E%7B-s%5Ctau%7Dd%5Ctau%3D%5Cmathcal%7BF%7D(s)%5Ccdot%20%5Cmathcal%7BG%7D(s)$ 。至此就完成了对拉普拉斯变换卷积性质的证明。

卷积定义是 $(f%5Cast%20g)(x)$ ，而对于 $f$ 和 $g$ ，我们希望可以有以下交换性质 $(f%5Cast%20g)(x)%3D(g%20%5Cast%20f)(x)$ 令 $x-y%3D%5Cxi%20$ 就可以得到 $(f%5Cast%20g)(x)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(y)g(x-y)dy%3D%5Cint_%7B%2B%5Cinfty%7D%5E%7B-%5Cinfty%7Df(x-%5Cxi)g(%5Cxi)d(-%5Cxi)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df(%5Cxi-x)g(%5Cxi)d%5Cxi%3D(g%5Cast%20f)(x)$

对于任意的函数相乘再积分，如 $%5Cint%5Ea_bf(x)g(x)dx$ 记作 $(f%2Cg)$ 可以发现有如下三条性质。

严格正定性 $(f%2Cf)%3D%5Cint%5Ea_b%7Cf%7C%5E2dx%5Cgeq%200$ 。
共轭对称性（在此自变量为实数所以简称共轭性） $(f%2Cg)%3D%5Cint%5Ea_bf(x)g(x)dx%3D%5Cint%5Ea_bg(x)f(x)dx%3D(g%2Cf)$
第一变量线性 $(mf%2Bng%2Ch)%3D%5Cint%5Ea_b(mf(x)%2Bng(x))h(x)dx%3Dm%5Cint%5Ea_bf(x)h(x)dx%2Bn%5Cint%5Ea_bg(x)h(x)dx%3Dm(f%2Ch)%2Bn(g%2Ch)$

满足了内积空间的定义。所以， $(f%2Cg)$ 是 $H$ 上的一个内积，而定义了内积的空间 $H$ 被称为内积空间。而在熟知的 $R%5En$ 中的向量组成的内积空间酒量结果如果两个向量相互垂直即称之为正交向量，并且 $(a%2Cb)%3D0$ 。借此可以得到在求解傅里叶系数时对于 $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos%7B(nx)%7Dsin%7B(mx)%7Ddx$ ， $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dsin%7B(mx)%7Dsin%7B(nx)%7Ddx$ , $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos%7B(nx)%7Dcos%7B(mx)%7Ddx$ 这类三角函数在 $x%5Cin%20%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 乘积之后的积分。

首先当 $n%3D0$ 时， $cos0%3D1$ 。所以先考虑特殊情况也就是 $1$ 和 $cosnx$ 正交， $I%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcosnxdx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dsinnx%7C%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%3D0$
第二种情况就是验证 $1$ 和 $sinnx$ 正交， $I%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dsinnxdx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dcosnx%7C%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%3D0$
对于 $cos(nx)$ 和 $cos(mx)$ 两个函数的正交关系，可以用积化和差得到 $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos(nx)cos(mx)dx%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Bcos(n%2Bm)x%2Bcos(n-m)x%5Ddx$ ，当 $n%5Cneq%20m$ 时，可以分解为两个第一种情况的积分，所以积分值等于 $0$ ，而在 $m%3Dn$ 时， $cos(n-m)x%3D1$ ,积分值为 $%5Cpi$ ，所以 $cosnx$ 不和自身正交
对于 $sin(nx)$ 和 $sin(mx)$ 的正交关系，也可以用积化和差得到 $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dsin(nx)sin(mx)dx%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Bcos(n-m)x-cos(m%2Bn)x%5D$ 并且与3相同，在 $n%5Cneq%20m$ 时，可以拆分为两个1的积分证明积分值等于 $0$ ，而当 $m%3Dn$ 时 $cos(n-m)x%3D1$ ，积分值为 $%5Cpi$ ，所以 $sinnx$ 不和自身正交
对于 $cos(nx)$ 和 $sin(mx)$ 的正交关系，依旧可以用积化和差来进行第一步的操作， $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7Dcos(nx)sin(mx)dx%3D%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Bsin(n%2Bm)x%2Bsin(m-n)x%5Ddx$ ，这次可以发现，无论 $m$ 和 $n$ 是否相等，积分值都等于 $0$
返璞归真，来讨论一下 $cos0$ 和 $cos0$ 之间的正交关系， $%5Cint%5E%7B%5Cpi%7D_%7B-%5Cpi%7D1%5E2dx%3D2%5Cpi$