考研数学10：通用的经典解题思路(压轴题)

抽象化是考研数学命题的难点问题。如何出一道质量比较高的难题主要有两个思想层面。 1：具体问题抽象化 2：简单问题复杂化 第一种思想诞生了抽象化问题，如何处理抽象化问题成为了难点。主要是两个思路。一种是化抽象为具体。这就形成了求函数f(x)的问题。求函数f(x)是考研中的重难点，通常形成综合题难题，因为这是研究对象的生产者。求函数f(x)也分为两个大方面。一是已知关系式求解函数，一种是求关系式列方程。 已知关系式求解函数也分为几个方面。 1：利用极限定积分的常数性质，等式两边同时求极限，定积分解方程。 2：极限的等式脱帽法。将极限符号去掉。 3：通过求极限的方法求f(x)。将x看成一个通用点x0，然后将求f(x0)的问题看成求limf(x)，x趋向于x0。这个通常和数列极限结合，题目难度就会非常高。和数列极限结合也分两种，一种是构造一个首项为x0的收敛数列，一种是构造极限为x0 的收敛数列，然后通过题目的递推关系求解极限。 4：微分方程。微分方程整个章节就是求函数f(x)。当看到含导数，变限积分的等式时，一定要想到微分方程。 求关系式列方程也有很多内容。在递推数列极限中，有时需要自己去构造Xn和Xn-1的关系。在导数，积分，微分方程中，这形成了几何应用和物理应用。其实本质是找关系列方程的问题。 第二种就是纯抽象化问题。在极限中一个经典内容就是单调有界准则证明极限存在。这不仅适用于数列极限，也适用于函数极限。 简单问题复杂化通常是通过将研究对象广义化，辅以各种变形，将一个原本简单的问题复杂化。相对的，解题思路那就是反其道而行之，将复杂问题简单化。由此诞生出了很多经典的解题思维。比如换元法，公式法，放缩法等等，无非就是将复杂问题转化为简单问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题。 换元法通常有两种看问题的角度。一种是将复杂的式子看成是某一函数或者变量本身，这叫整体代换。另一种则是将复杂式子看成是某一函数或者变量的导数，然后通过求导公式的逆用找到原函数。换元法的主要目的就是为了化简复杂问题。换元法在高数中屡见不鲜。计算极限的时候，有“狗”的代换，这就是整体代换。在中值定理的证明题中，换元法形成了辅助函数。当待证明的含中值的式子不符合定理的标准形式时，我们通过换元法进行恒等变形确定研究对象，也就是辅助函数。在不定积分的计算中，求导逆用形成了凑微分法，整体代换形成了第二类换元积分法。在微分方程中，换元法帮助我们解决一阶微分方程的求解问题。一阶微分方程的解题思路是8个字：分离变量，同时积分。当变量不可分离时，我们使用换元法加恒等变形将原本式子变成变量可分离型进行计算。换元的本质就是还原，将广义化后复杂的内容还原成简单的形式。 公式法通常是将离散的复杂和式整合成一个整体式子。主要有等差数列求和，等比数列求和，n次方公式，定积分公式等等，其目的主要就是整合和式。 放缩法我称之为工具人，或者清道夫。它的作用主要是为他人作嫁衣，清扫障碍。它和极限结合就形成了夹逼准则，和反常积分结合就形成了比较审敛法，但是本质使用思路是一样的。比如离散的和式，使用公式法无能为力，因为分母不统一，所以使用放缩法统一分母。凑定积分时总有一些余项，使得凑不出标准定积分，于是结合放缩法除掉余项。在求积分的时候，积分不可积。所以通过放缩法改变被积函数进行积分。在反常积分申敛中，有时被积函数太复杂判断不出来，所以先用放缩法改变被积函数再用极限比阶进行判断等等。