初三数学九年级数学上册 人教版 2023新版 教学视频 初中数学9年级数学上册九
目录：
21.1 一元二次方程
21.2.1 配方法
21.2.2 公式法
21.2.3 因式分解法
省略二次函数，旋转
24.1.4 圆周角
24.2.1 点与圆的位置关系
24.2.2直线与圆的位置关系
实验与探究：圆与圆的位置关系
24.3 正多边形和圆
24.4 弧长和扇形面积
25.1.1 随机事件
25.1.2 概率
21.1 一元二次方程（quadratic equation in one unknown）
其一般形式为
ax²+bx+c=0（a≠0）
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 根（root)
b,c都可等于0，但是a不可以等于零
21.2解一元二次方程
1.配方法（在了解直接开平方法之后）
目的：降次
方法如下
1）化成一般形式
2）二次项系数化成1
3）移项将常数项移到等号的另一边
4）配方（完全平方公式），一般加上一次项系数一半的平方，
即b^2÷4
or （b÷2）^2
5.直接开平方,形式为（x+m)²=n
2.公式法
公式法是通过配方法而得出。
利用配方法可以推导出求根公式，配方是推导求根公式的中间过程
公式法省去了配方的中间过程，直接利用了配方的结果
公式法的优点是操作简单，直接计算，是解一元二次方程的通法
所以公式法不容易出错
一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b²-4ac。
当Δ＞0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0）有两个不等的实数根；当Δ=0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0）有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0）没有实数根。
推导过程自己推
3.十字相乘法
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
24.1.4 圆周角（1）
判断是否为圆周角
1的顶点不在圆上
3的顶点不在圆上
5有一边不与圆相交
6两条边都不与圆相交
1.优弧（即大于半圆的弧）上的圆周角小于 90°，恒不变；
2.劣弧（小于半圆的弧）上的圆周角大于90°且与优弧上的圆周角互补（互补证明见圆周角2）
3.半圆上的圆周角恒等于90°；
关于为什么恒不变
弧确定，圆确定，但是圆周角存在三种情况。
所以有三个不同的确定的答案（以我的理解来说）
结论是
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
也可得到其他结论
同弧或等弧所对的圆周角相等
半圆（或直径）所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角（2）
概念：圆内接多边形：如果一个多边形的所 有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.
外接圆：从圆内接多边形开始，这个圆角叫做这个多边形的外接圆
互补证明（圆周角，圆心角）
因为不变嘛，所以和确定
得出圆内接四边形的一个性质
圆内接四边形的对角互补
题目补充：∠ACD与∠ABD对的是同一个弧， 所以角相等。
拓展：当圆内接四边形为平行四边形时，图形为矩形，当为菱形时，图形为正方形，当为梯形时，图形为等腰梯形
24.2.1 点与圆的位置关系
设⚪（符号打不出来）O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 ⟺ d＞r
点P在圆上 ⟺ d=r
点P在圆上 ⟺ d＜r
“⟺”：等价于
过已知点作圆过一点
结论：过一点可以画无数个圆，圆心为这个点以外的任意一个点
过两点
结论：过两点可以画无数个圆，圆心在两点所连线段的垂直平分线上。
由三角形外接圆得
过三点
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆（有且仅有这一个）
画 图 方 法
连接三点
任意画两条线段的中垂线，交点为圆心
其中
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle)，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（circumcenter）
当三点在同一直线上时，任取两点，都没有交点。
这里运用了反证法
反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法。
24.2.2 直线与圆的位置关系（1）
圆与直线的不同关系，记半径为r，圆心点O到直线l的距离为d
1. 一个公共点，我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
此时d=r
2. 两个公共点，我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
此时d＜r
3.没有公共点，我们说这条直线与圆相离。
此时d＞r
易得
直线l与⚪O相交⟺d＜r
直线l与⚪O相切⟺d=r
直线l与⚪O相离⟺d＞r
对比如下
tips:公共点此时的定义为同时处于圆与直线的 交点，圆心不在圆上，不属于公共点，故不存在三个公共点的情况。
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
得出切线的判定定理
外接圆：从圆内接多边形开始，这个圆角叫做这个多边形的外接圆
互补证明（圆周角，圆心角）
因为不变嘛，所以和确定
得出圆内接四边形的一个性质
圆内接四边形的对角互补
题目补充：∠ACD与∠ABD对的是同一个弧， 所以角相等。
拓展：当圆内接四边形为平行四边形时，图形为矩形（好像摄像机的镜头），当为菱形时，图形为正方形，当为梯形时，图形为等腰梯形
24.2.1 点与圆的位置关系
设⚪（符号打不出来）O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 ⟺ d＞r
点P在圆上 ⟺ d=r
点P在圆上 ⟺ d＜r
“⟺”：等价于
过已知点作圆
过一点
结论：过一点可以画无数个圆，圆心为这个点以外的任意一个点
过两点
结论：过两点可以画无数个圆，圆心在两点所连线段的垂直平分线上
过三点
结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆（有且仅有这一个）
画 图 方 法：
连接三点，任意画两条线段的中垂线，交点为圆心
其中，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆（circumcircle)，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（circumcenter）
这里运用了反证法
反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法。
24.2.2 直线与圆的位置关系（1）
引入新知
圆与直线的不同关系，记半径为r，圆心点O到直线l的距离为d
1. 一个公共点，我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。此时d=r
2.两个公共点，我们说这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。此时d＜r
3.没有公共点，我们说这条直线与圆相离。此时d＞r
易得：
直线l与⚪O相交⟺d＜r
直线l与⚪O相切⟺d=r
直线l与⚪O相离⟺d＞r
对比如下
tips:公共点此时的定义为同时处于圆与直线的 交点，圆心不在圆上，不属于公共点，故不存在三个公共点的情况。
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
得出切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法：
那？可以互逆吗？
当然可以！
24.2.2 直线与圆的位置关系（3）
方法是反证法。
即由切点，圆得出垂直
同样由性质出发。
得出结论：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点。
另一个结论：经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心。
24.2.2 直线和圆的位置关系（4）
当有两条切线时
得出切线长（过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⚪O相切，经过圆外一点的圆的切线上，这点和切线之间线段的长叫做这点到到圆的切线长）定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
实验与探究：圆与圆的位置关系
1.没有公共点
2.一个公共点
3.两个公共点
4.一个公共点
5.没有公共点
6.圆心重合
继续移没有意义，无非就是镜面翻转
所有情况：
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。如情况1，5，6
其中1叫外离，5，6叫内含，6是内含中的特殊情况，叫同心圆
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切。如情况2，4
其中2叫外切，4叫内切
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。如情况3
所以
如果⚪O1与⚪O2的半径分别为r1和r2（r1＜r2），圆心距为d
外离（1）：d＞r1+r2
外切（2）：d=r1+r2
相交（3）：r1-r2＜d＜r1+r2
内切（4）：d=r2-r1
内含（5，6）：0＜或者=d＜r1-r2
同心圆（6）：d=0
24.3 正多边形和圆（1）
以圆内接正五边形为例。
1.外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
2.外接圆的半径叫做正多边形的半径。
3.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
4.中心到正多边形一边的距离叫正多边形的边心距。
正多边形的判断：
首先要纠正个误区
1.各边相等的多边形不一定是正多边形。
2.各角相等的多边形不一定是正多边形。
3.各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形。
但是，各边相等的圆内接多边形是正多边形，以正方形为例
拓展：
关于正n边形的中心角，外角度数计算
度数相等都为360/n
直角三角形的组成元素为正多边形的半径，边心距，边长一半。
以及
[圆外切多边形的定义]
把圆分成n（n大于或等于3）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形 。
24.3 正多边形和圆（2）
[如何作出圆内接正三角形]
1.利用圆心角，圆周角的关系得出
2.用量角器度量
3.使半径成为角平分线
4.作 出 长 度
5.用圆规在圆上顺次截取6条长度等于半径r的弦，连接其中的相邻两条弦的顶点构成钝角等腰三角形，如此循环三次得出等边三角形（离谱)
[如何作出圆内接正方形]
1.直接根据正方形的特征作出
2.作出垂直半径，得到边长AB，得到正方形
3.作出垂直直径，连接。
其他的正多边形做法省略
24.4.1 弧长和扇形面积（1）
写在开始：设弧长为l，圆心角为n°，半径为R
[求弧长]
由圆的周长公式以及圆心角可得：
l=2πR（周长公式）×n÷360（即圆心角占这个圆的占比）
即
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
一般地，n<180°时记作如扇形OAB的形式。
180°<n＜360°时记作如扇形OCED的形式。
那么可以提出以下问题
What the area of sector depends on？
半径R和圆心角n
And……
How can we get it？
对比一下l的计算公式
可得S扇形=lR÷2
24.4 弧长和扇形面积（2）
As we know。
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。
有关圆锥的线段
圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段。
圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意任意一点的线段。
所以：圆锥的母线有无数条
那么，设母线为l，高为h，半径为r
加上勾股定理，我们可以得出以下结论
h²+r²=l²
h，r为定值。得到另一个结论
圆锥的母线长都相等
哪怕是圆锥啊，也离不开传统艺能
算 面 积（侧面积和全面积）
这个时候，我们需要一张二向箔
展开后，他的侧面积是个扇形
这个扇形的半径很容易想清楚
为母线l
弧长就是底面的圆周长
根据扇形的另一个计算公式
就可以求出来侧面积公式
面积公式中的半径为母线l，弧长为2πr
除2得侧面积为
S侧=πrl
全面积也迎刃而解了
S全=πr（r+l）
又用第一个扇形面积计算公式
得出圆心角的计算公式
得到n等于360r÷l
数学活动：探究四点共圆的条件
之前在点和圆的位置关系中说过
“不在同一直线上的三个点确定一个圆（有且仅有这一个）”
当变为四点时呢？
换句话说
过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
从特殊的四边形开始
正方形~可以的哦
矩形~可以的哦
平行四边形…… 没有公共点
等腰梯形~可以的哦
直角梯形……
那么，可以四点共圆的包括（但不限于）正方形，矩形，等腰梯形。
从“边”的角度看，都有一组对边平行，可是有一组对边平行的四边形也不一定四点共圆。
从“角”的角度看，在仅讨论矩形的情况下
可以提出猜想：
有三个角是直角的四边形的四个顶点共圆。
不证自明
将直角的个数缩减到两个时
分类讨论
当相邻时
由直角梯形可知，不一定共圆
相对之时呢
我希望你能好好想一下这个问题
答案是可以共圆
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
结合我们所看到的，得出结论：
经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆。
25章 概率初步
“我发誓，整个九年级你再找不到一个比我更简单的章节了。”——概率初步
25.1.1 随机事件
为了保持文字的统一，严谨。“事情”均以"事件"称。
对于一件事件的发生，人们把它分为三类
1.必然事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事情称为必然事件。
2.不可能事件：在一定条件下，有些事情必然不会发生，这样的事件称为不可能事件。
3.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
我们称必然事件，不可能事件统称为确定性事件。
一般地，随机随机的发生的可能性是有大小的。
就像10³个黑球和1个白球，你当然更容易摸到黑球。
25.1.2 概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果那么事件A发生的概率P(A)=m/n
比较简单就看题吧
（2022广东中考）
必然事件时，概率等于1
不可能事件时，概率等于0
25.2 用列举法求概率
我们一般的研究对象仅有一个，但在现实中，研究对象往往不止一个（大概率）
同时抛掷两枚质地均匀的硬币
求两枚全部正面朝上的概率
可能的情况有
正正 正反 反正 反反
（说竖着的把他给我拖出去，baka！）
所以当出现“正正”时，P（A）=四分之一
当实验对象太多的时候，我们采用列举法来探讨。
（2021广东中考）
当研究对象变成三枚硬币时
为了考虑所有情况可以分类讨论
当第一枚为"正"时
情况为：
正正正 正正反 正反正 正反反
当第一枚为"反"时
情况为：
反正正 反正反 反反正 反反反
有点麻烦？
可以用「树状图」！
1，2，3代表的是层数
即第一枚，第二枚……
冷知识：实验中任意一种特定情况（即其八种情况中的任意一种）出现概率为1/8，即1/2^3，第一枚2种情况，第二枚2种，第三枚2种，2×2×2=8，求其倒数得出概率
（跑偏了咳咳）
列出树状图，然后列举就行了
25.3 用频率估计概率
频率（frequency），指每个对象出现的次数与总次数的比值，比值m/n称为事件发生的频率。
从抛掷硬币这个问题来说
20世纪早期，英国数学家，生物统计学家， 数理统计学的创立者卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）将一枚硬币投掷了24000次，其中12012次正面向上，接近抛掷硬币的50/100的概率（0.5005）。
当抛硬币的次数足够多时，频率愈发趋近于概率。
即：通过大量重复实验，随着实验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率
那么，为什么我们要用这种方法呢？
因为它不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制。
比如……
抛图钉/抛石头等质量分布不均的东西
比如移植成活率，损坏率，发芽率这些不能直接得到概率的。
频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事情的频率都可能不同，而概率是一个确定数。是客观存在的，与每次试验无关。
作者：云语散言 https://www.bilibili.com/read/cv17355603?spm_id_from=333.999.0.0&;jump_opus=1 出处：bilibili
