【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep38】数列无穷大
今天来聊聊一个与无穷小对应的概念——无穷大。
这一节的内容，有的书上会叫做“广义下的数列极限”——因为从严格意义上讲，这种数列是发散数列，但是又是发散数列中一种比较特别的形式，尤其是它与无穷小量的关系，所以值得探讨的。
之前我们了解过无穷小量的定义——极限为0的数列。
今天给出类似的无穷大量的定义——
27无穷大量
简言之，对于任意一个大数E>0，都存在一个N，使得N之后的数列各项的绝对值都比E大，我们翻译成数学语言——
数列{an}为无穷大量——对于任意大数E>0，存在自然数N，当n>N时，|an|>E。
书上先对这个定义做了一个说明——
意思是，无穷大量是一个变量，而不是一个数，是一个变化的过程，而非一个确定的结果，不要和初等数学中，常量的概念混淆——实际上，没有任何一个实数能够无限之大，一旦给定一个实数，无论它有多大，它都是有限的，所以，无穷大量，也是变量有趣的地方之一，我们因此得到了对无穷的直接认知。
接着给出了一个例子——
对于指数函数对应的数列an=Q^n，其中|Q|>1，求证an是无穷大量——
我们依然考虑定义中，实际上，对于任何定义中，关于“任意的”这个叙述，如果是在条件中，那么我们直接拿来用，如果是在结论中，我们一般用反证法：显然无穷大极限的定义是前者，而结论是存在一个自然数N，使得不等式成立，所以，我们的目标依然是根据已知条件，找到N——
对于任意大数E>0，若{an}为无穷大量，则存在自然数N，使得n>N时，|an|>E；
在本题中，即使得|Q^n|=|Q|^n>E；
因为|Q|>1，所以ln |Q|>0；
由2、3，n ln |Q|>ln E，即当N>（ln E/ln |Q|）时，能够使|an|>E成立，我们取N=E（ln E/ln |Q|）+1，即可，证毕。——其中E（……）为取整函数，我们在Ep35介绍过。
接着介绍了无穷大量的种类——
总体上分为两大类，一种是定向的，另一种是不定向的，定向的又分为两种——
正无穷大——不等式变为an>E；
负无穷大——不等式变为-an>E；
此外，其他的种类都是普通的无穷大，我们就称之为无穷大。
接着对无穷大的符号给出了一个说明，这里打不出来，所以let it go——
这里着重指出了，无穷极限这一极限的特殊性——
说明——
显然，无穷极限是不具有唯一性或者有界性的，所以显然它与我们之前聊过的数列极限不是一回事；
前面极限的保号性、唯一性都是在有界性这一前提下成立的，所以，无穷极限并不具有这些性质。
最后，介绍了无穷大量和无穷小量的关系——
关系可以简述为：互为倒数——如果数列{an}为无穷大量，那么{1/an}为无穷小量，反之亦然——
由无穷大量定义，对于任意大数E>0，存在自然数N，当n>N时，|an|>E；
由1,1/|an|=|1/an|<1/E=e，其中e显然是任意小数e>0，故而{1/an}为无穷小量；
同理可证，反之也成立。
这周就到这里，下周不见不散！
