接收分集--最大接收比合并 MRRC

这个文章主要是讨论一下 MIMO 通信系统中的分集，用两种非常简单的例子来讨论发射分集和接收分集。

录制的视频  https://www.bilibili.com/video/BV1Qd4y137xL/

首先对分集这个概念做一下解释，其英文是 Diversity，字面意思是多样性。怎么来理解这个词呢？假如我们做接收分集，那就是有所谓的接收 “多样性”，例如下面这个一个发射天线，两根接收天线的情况

则多样性体现在：

如其中一根接收天线没有接收到信号，那么另外一根接收天线接收到信号，则接收端还是可能正确接收到数据。

如果两根接收天线接收的信号都偏弱，都弱到单个的接收信号无法还原发射的信号，但是，两个天线来的信号经过某种叠加，就有可能增强了接收到的信号，则能还原出来发射的信号。

从这个例子中，我们可以感受到某种接收的“多样性”，称之为 接收分集。

接收分集  最大接收比合并

我们来从数学的角度分析一下，假设信道的系数分别为  和 ，发射的数据是 s，这些都是复数信号。那么，两根接收天线分别接收到的数据可以表示为

其中， 是高斯白噪声，均值为 0，方差为 （即噪声能量为 ）.

对两个接收信号分别乘以信道系数的共轭：

上下两个式子相加：

则：

那么估计出来的发射信号是：

注意的是:

第一,这个估计出来的信号,还不是发射方发射的原始数据, 而是带有噪声的估计数据. 如果需要还原原始的发送数据,则需要用"白噪声信道"下的最大后验概率来估计出原始数据.

第二, 我们来直观理解一下上面这个估计的含义, 两路来的信号,虽然都是同一个天线发来的相同信号,但是由于路径不同,空中延时不同,到达两根天线的信号, 会有不同的相位差. 为了能最大化接收到信号,我们需要把相位对齐, 这样波峰对波峰,波谷对波谷就能增强信号, 因此,

因为  是 s 乘以  (再加上噪声), 所以:

同理

则上面两个的信号相位是对齐了的.

那么噪声项呢? 因为噪声是固定的, 而信号 s 是根据  衰减的, 那么, 我们为了避免放大噪声, 我们把两路信号相加的思想就为: 接收到的信号能量大的就加多一些,能量小的就加少一些,  自然可以推理,按照接收到信号能量的比例系数来合并.

第三, 上面这个估计  ,是基于最大化接收信噪比的出发点推导出来的.下面我们试着推导一下.

令:

则

其中 s 是一个复数的标量.

我们需要找一个权重向量:

使得

的信噪比最小.

其中,信号能量为:

发射信号的能量是定值, 我们可以令  , 即接收到的信号能量先确定下来, 然后来最小话噪声的部分, 这样就能得到最大的信噪比.

噪声的能量是

我们假定两个接收天线的高斯白噪声, 能量都是 , 则:

那么:

由于噪声的能量也是定值(因为我们在求解  w 的具体值), 要想让接收噪声最小,就是让  最小.

那么最后的问题变成一个带有条件的最优化问题:

用拉格朗日乘数法来求解:

求导:

则

代入  有:

求出了 ,则可以求出 w:

则接收信噪比为：

这里涉及一个理论上 MRRC 的误码率公式，待补充。