复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A15]参考解答

2021-12-21 19:28 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A15]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A15](1)设 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Da_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ccdots%2Ba_1x%2Ba_0$ 是整系数多项式， $1%5Cle%20k%5Cle%20n$ .设存在素数p，使得 $p%5Cnmid%20a_n%2Cp%7Ca_%7Bk-1%7D%2Cp%7Ca_%7Bk-2%7D%2C%5Ccdots%2Cp%7Ca_0%2Cp%5E2%5Cnmid%20a_0$ ，证明: $f%5Cleft(x%5Cright)$ 有一个次数 $%5Cgeq%20k$ 的不可约因子.

(2)设 $n%5Cgeq2$ 为正整数，p为素数，证明: $x%5En%2B%5Cleft(p%2B2%5Cright)x%5E%7Bn-1%7D%2Bp$ 在有理数域上不可约.

证明(1)设 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Df_1%5Cleft(x%5Cright)f_2%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdots%20f_m%5Cleft(x%5Cright)$ ，其中 $degf_i%5Cleft(x%5Cright)%3Ck%2C%5Cforall1%5Cle%20i%5Cle%20m%5Cle%20n$

只需讨论 $m%5Cgeq2$ 的情形，否则 $m%3D1$ 意味着 $f(x)$ 自身不可约，结论得证.

考虑 $f_i$ 的常数项，不应当为0，否则 $p%5E2%7Ca_0$ ,矛盾.并且有且仅有一个 $i$ ，使得 $f_i$ 的常数项被p整除.记上述 $f_i%5Cleft(x%5Cright)%3Dg%5Cleft(x%5Cright)$ ,其余所有 $f_j%5Cleft(x%5Cright)$ 的连乘积记为 $h%5Cleft(x%5Cright)$ ，则 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Dg%5Cleft(x%5Cright)h%5Cleft(x%5Cright)$ .

设 $g%5Cleft(x%5Cright)%3Db_rx%5Er%2B%5Ccdots%2Bb_1x%2Bb_0%2Ch%5Cleft(x%5Cright)%3Dc_%7Bn-r%7Dx%5E%7Bn-r%7D%2B%5Ccdots%2Bc_1x%2Bc_0$ ，其中 $p%7Cb_0$ 且 $p%5E2%5Cnmid%20b_0%2Cp%5Cnmid%20c_0$

考虑 $a_1%3Db_0c_1%2Bc_0b_1$ ,两边模p有 $p%7Cb_1$ ，再考虑 $a_2%3Db_0c_2%2Bb_1c_1%2Bb_2c_0$ ，同理可得 $p%7Cb_2$

以此类推，又由 $r%3Ck$ 可知 $r%5Cle%20k-1$ ，于是我们可以得到 $p%7Cb_i%2C%5Cforall0%5Cle%20i%5Cle%20r$ .

从而 $p%7Ca_n%5Cleft(%3Db_rc_%7Bn-r%7D%5Cright)$ ，矛盾！

因此 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 有一个次数 $%5Cgeq%20k$ 的不可约因子，更具体地， $f(x)$ 的分解式中一定只有这个不可约因子的常数项被p整除.

(2)由(1)可知 $x%5En%2B%5Cleft(p%2B2%5Cright)x%5E%7Bn-1%7D%2Bp$ 有一个次数 $%5Cgeq%20n-1$ 的不可约因子，于是它有有理根或者不可约.只需考虑有有理根的情形，由有理根定理可知根只可能为 $%5Cpm%20p$ ，只需考虑 $-p$ 的情形，分奇偶讨论可知n无解.于是 $x%5En%2B%5Cleft(p%2B2%5Cright)x%5E%7Bn-1%7D%2Bp$ 在有理数域上不可约.