PART 1 准备工作

方法是解决三元对称不等式的“通法”，是通过换元来简化命题的手段。

对于仅有三个变量，且关于轮换对称的不等式，可以作以下换元：

之后使用仅有的不等式对原命题进行放缩，目标是尽量使得不出现在大于的一端，或者直接消去。

字母使用是有其道理的，分别为和、二次轮换和、积的缩写。当然，大多数人使用换元，这并未有不同之处。

先给出下面将会用到的不等式：

 （三次不等式）

 （四次不等式）

下面所有运用到的恒等式都可以在我的这篇文章中找到（定理四~定理九）：

在ab+bc+ca=1条件下的一些恒等式

PART 2 实践

例一：非负实数满足，求证：

此题是在某代数不等式上看到的，米尔赫德不等式确实是“好方法”，我们还是使用换元来解决此题。

证明：原不等式

由，知上式（定理四）

（定理六）

记，

则

于是，原命题

可以观察到这个式子仅有两个变量，显然将通过放缩转化成为最优的选择

我们选择为数不多出现在大于的一边的不等式——三次不等式进行放缩

由三次不等式： ，变形可得：

那么，我们可以得到：

我们不妨画出此函数的图像：

注意是有取值范围的，由非负且，知

那么，在时，是恒成立的，我们用导数的工具证明之：

记，则，

这是一个开口向下，的二次函数，

故而恒成立，即在上单调递减，

故时，，原不等式得到了证明。

但我们仍未证明时原不等式成立。

其实，这个范围内的原不等式更加容易证明，

记，则，

当时，，从而，

于是当时，

当且仅当时，等号成立

综上，原不等式得证！

B站只允许插入100张图片，还有一道题只能放在下面一篇文章中了。