很水的数学分析111：等价度量和等价范数

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一、讨论度量的意义：把收敛性、连续性推广离不开度量的定义。

二、继续等价度量的话题。

（满足双Lipschitz条件）

1.一个等价度量的例子。

圆周上，两点的直线距离（d₁）、两点之间较短圆弧的弧长（d₂）。

证明略。

2.一个不是等价度量的例子。

C[0,1]中，L∞和L¹。

①证法一：找到｛fn｝,｛gn｝使得sup d∞/d₁=+∞。

令φ(x)=x/(1+x⁶sin²x)，f(x)=φ[x+(nπ-1/2)]，g≡0

则d∞(f,g)=nπ

d₁(f,g)≤2π²/n²

于是sup d∞/d₁=+∞。因此这一侧不满足Lipschitz条件

②证法二：用Cauchy列定义展示xⁿ在L∞度量下不是Cauchy列，而在L¹度量下是Cauchy列。

可以算出d∞(fn,fn+p)→1，d₁(fn,fn+p)→0

③另一种展现xⁿ在[0,1]上不是Cauchy列的方式。

（ⅰ）先证例2.46，即函数空间C[0,1]在度量下是完备的。

基于三条重要定理。

a.由一致收敛的Cauchy原理知｛fn｝一致收敛。设收敛到f。

b.｛fn｝一致收到f等价于在L∞度量下收敛到f。

c.最终由极限换序定理知f在C[0,1]上连续，即f在空间上。

（ⅱ）以上证明保证了fn一致收敛⇔它在L∞下Cauchy收敛。

所以xⁿ在[0,1]不一致收敛⇔它在L∞上不是Cauchy列。

3.IRⁿ中度量不一定等价，如d(x,y)=‖x-y‖和d'(x,y)=‖x-y‖¹/²；

但是IRⁿ中由范数诱导的度量都是等价的。