【BanG Dream!】在麻里奈的礼物箱抽到大奖的概率逻辑猜测

1.写在前面

        麻里奈的礼物箱是会在对邦活动和部分联动活动中出现的奖励系统。每在这些活动中得到50pt即获得1个奖章，每10个奖章可在礼物箱中抽奖一次。

        每个礼物箱中有且只有1个“大奖”，只有抽到了本礼物箱的大奖，才能开始抽下一个礼物箱。从礼物箱的“第6箱”开始，每个礼物箱都含有180个礼物。

        本文尝试讨论的问题是：抽奖箱的概率逻辑是怎样的？换句话说，每抽奖1次，抽到大奖的概率是多少？

        先说结论：最可能的是作为抽奖箱而言最简单的逻辑——和数学题里“所有小球大小、形状、材质均一样，只有颜色不同”的古典概型抽奖箱一模一样。如果抽奖箱里还剩180个奖品，那抽到大奖的概率就是1/180，还剩179个奖品时大奖概率就是1/179……以此类推。

2.概率逻辑猜想

2.1 ①最普通的抽奖箱

        最最普通的抽奖箱，抽到大奖的概率=1/抽奖箱里剩下的奖品数量。由于在这种抽奖箱中所有的奖品在概率上是等价的，所以在这种抽奖箱里，从第1次到第180次抽奖，刚好在那一次抽奖拿到大奖的概率均为。

        在这种情况下，记在每一轮抽奖箱中，拿到大奖所需的抽奖次数为，则的数学期望，的方差。

2.2 ②抽卡型抽奖箱

        在这种抽奖箱里，不论已经抽了多少次奖，只要没有获得大奖，则下一次抽奖获得大奖的概率都是一个定值，记为。第180次抽奖时由于抽奖箱内只剩一个大奖，获得大奖的概率只能为。

        在这种情况下，记在每一轮抽奖箱中，拿到大奖所需的抽奖次数为，则的数学期望，的方差

。

2.3 ③其它有更复杂逻辑的抽奖箱

        如果数据分析结果不支持①②猜想，则可考虑猜想③。但此时由于能力所限，笔者无法推测其具体概率逻辑。

3.数据收集

        笔者记录了从第11箱到第247箱，共237次抽奖结果，每次结果均记录“到抽到大奖为止需要几次抽奖”的数值。

        这237次统计的结果如下：

4.数据分析及结论

4.1 绘制直方图

        对记录得的结果绘制直方图，结果如下：

        从直方图中并不能看出数字的分布有什么明显的规律，为猜想①“最普通的抽奖箱”提供了依据。

4.2 数学计算

        通过计算可得以上个数据的平均值为，无偏方差为。这与猜想①“最普通的抽奖箱”所作出假设比较吻合。

        如根据②“抽卡型抽奖箱”的假设，则按观测得的平均值，解关于每次抽奖的大奖概率的值的方程，解得。如按观测得的无偏方差值，解方程，则解得。两个方程的解并不相互吻合。

        综上，关于麻里奈的礼物箱的概率逻辑，猜想①“最普通的抽奖箱”是最有可能成立的。

5.隐藏机制检验

        为了进一步检验所谓“麻里奈的礼物箱”确实只是一个最普通的抽奖箱，我们还需要尽可能排除它含有隐藏机制的可能性。隐藏机制比如：

• 1.补偿机制：在前一次礼物箱花了较多次数才抽出大奖时，下一次抽出大奖会更容易

• 2.平衡机制：在前一次礼物箱花了较少次数就抽出大奖时，下一次抽出大奖会更困难

• 3.周期性：在礼物箱中抽出大奖的所需次数可能是一具周期性的数列

• ……

5.1 检验是否存在补偿机制

        将出现在的数之后的数据摘抄为一数列如下：

        将出现在的数之后的数据摘抄为另一数列如下：

        前者的均值为，无偏方差值为。后者的均值为，无偏方差值为。二者差别不大，且都与2.1中的和相近。故认为抽奖箱并不存在补偿机制。

5.2 检验是否存在平衡机制

        将出现在的数之后的数据摘抄为一数列如下：

        将出现在的数之后的数据摘抄为另一数列如下：

        前者的均值为，无偏方差值为。后者的均值为，无偏方差值为。同上认为抽奖箱并不存在平衡机制。

5.3 检验是否存在周期性

        对3.中统计结果进行自相关分析，结果如下。其中，Real Data是3.中的真实统计结果，Random Data 1是和3.中统计结果长度一致的，由介于1~180的随机整数构成的随机数据，Random Data 2, 3与Random Data 1类似，但生成Random Data 2数据时，可生成最小值存在周期性，Random Data 3则为可生成最大值存在周期性：

        从图中可以看出，真实数据与随机生成的数据类似，不具备明显的周期性特征。综上，暂不能证明抽奖箱中存在隐藏机制。■