【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep140】函数的连续性在计算极限时的应用（六）

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这三个极限结论全部要背下来，因为在后续各个部分都很常用。

习题——

77函数的连续性在计算极限时的应用

1. 求证a→0时， lim ln(a+1)/a=1.

   证明：已知a→0时， lim (1+a)^(1/a)=e，左右取对数， lim ln(a+1)/a=1，得证。

2. 求证a→0时， lim loga(a+1)/a=loga e.

   证明：lim loga(a+1)/a=lim [ln(a+1)]/(aln a)=lim [ln(a+1)/a](1/ln a)=loga e，得证。

3. 求证a→0时， lim (a^u-1)/u=ln a.

   证明：

• 令b=a^u-1，则u=loga (b+1)；

• lim (a^u-1)/u=lim b/loga (b+1)=lim (bln a)/ln(b+1)=lim [b/ln(b+1)]ln a=ln a，得证。

4. 求证a→0时， lim [(1+a)^u-1]/a=u.

   证明：

• 令b=(1+a)^u-1，则u*ln (1+a)=ln (1+b)；

•  lim [(1+a)^u-1]/a

  =lim b/a

  =lim {b/[ln(1+b)]}*{[ln(1+b)]/a}

  =lim {b/[ln(1+b)]}*{[u*ln (1+a)]/a}

  =u，得证。