有意思的概率与统计（九）

好了！进入到又一个重点了！

在介绍完基本的随机变量特征和性质之后，我们就要开始了解一些重要的分布了。这些分布基本涵盖了我们日常分析各种问题时所能面临的各种情况。因此，仔细学习和了解这些重要的分布十分必要的。

希望大家好好理解哟~

Chapter  Two  随机变量及其分布

2.4  常用离散分布

我们先从离散分布入手，介绍一些基本的随机变量分布~

首先是——二项分布。

我们在中学阶段已经了解过二项分布的基本概念和特征，其与独立随机试验有所关联。

我们来考虑这样一个例子：

例1：某特效药的临床有效率为p，今有n人服用，求治愈人数X的分布列。

对于这10个服用特效药的人而言，彼此之间是否治愈是相互独立的，并不会因为其中某一个人治愈与否就会影响其他人的治愈结果。因此，这是一个独立重复试验。

基于此，我们很容易就给出X的分布列为：

其中，组合数的含义是在n个人中选择出k个人被治愈，剩余的n-k个人未被治愈。

如果X是n重Bernoulli试验中某事件A成功的次数，那么我们称X的概率分布满为二项分布，记作。其概率分布列满足上式。

利用二项式定理，我们不难证明：

想要充分了解一个分布，我们接下来就要研究它的数字特征。首先是数学期望。按照定义，由于随机变量X的取值非负，因此我们只需直接计算下式即可：

方差的计算有两种方式，一种是直接利用定义，另一种是利用公式：

我们采用这种方法。通过直接计算得到：

这就是二项分布的方差的公式。

我们接下来介绍另一种非常重要的离散型随机变量的分布——Poisson分布。它在很多放射性物质衰变过程中有所应用。

Poisson分布的分布列为：

其中，参数λ＞0。如果随机变量X服从Poisson分布，那么我们记做。

利用函数项级数的知识，我们很容易验证得到：

对于Poisson分布，我们也是要研究它的数学期望和方差。对于数学期望，我们直接计算，能够得到：

而方差则为：

这说明，对于Poisson分布而言，数学期望和方差的表达式是一致的。

对于二项分布，我们通过一个例子已经直观地感受到了它的应用情形，但是对于Poisson分布而言，我们并没有介绍其相关的应用。所以，为了让大家见识一下Poisson分布的重要作用，接下来，我们来看一看有关Poisson分布的一个非常重要的结果——Poisson定理。

我们先说明，Poisson定理是联系二项分布与Poisson分布的非常重要的结果。有了Poisson定理之后，很多二项分布的计算都可以用Poisson分布来计算。这样就会大大简化计算的复杂度与难度。

我们先来看组合数的极限，即：

利用Stirling公式，我们很容易就得到：

对于二项分布而言，设一次试验中某事件发生的概率为（与试验次数n相关）。当n一定时该事件发生的概率也一定。如果满足：

(λ是Poisson分布的特征参数。）

那么，我们就有：

于是，我们将这两个结果组合到一起，就得到了：

这说明，在n重Bernoulli试验当中，若：

（1）n足够大；

（2）；

（更进一步，可以是）

则可以用Poisson分布来近似代替二项分布去计算各种概率统计量。（包括概率，数学期望和方差。）

一种最为常见的应用环境是，当n足够大，而p足够小，且np大小适中。（不会是一个特别大的数，否则会被视为无穷大；也不会特别小，否则Poisson分布无意义。）这时，基于Poisson定理，我们就可以使用Poisson分布的结论近似计算二项分布的结果。

当然，事实上，使用最多的还是用于计算概率。毕竟，就算不使用Poisson定理，我们也很容易能够在定理的条件下得到：

因此，数学期望和方差的近似计算是很显然的，不必一定要以Poisson定理为依据。

接下来，我们要介绍一下一个也已经在中学阶段就接触过的分布——超几何分布。

我们以一个基本的例子来引入。

例2：我们在概率的确定方法那一节介绍过很多的基本模型。其中十分经典的一个古典概型，就是抽样模型。我们在当时的不放回抽样模型的例子当中已经给出了事件A=“取出的球中有m个红球”的概率：

我们现在定义随机变量X取出的红球的数目，那么就有分布列：

利用专栏（二）的思考1.（3）的结论，我们直接得到：

于是我们就得到：

我们称该分布为超几何分布，记为。

对于超几何分布，直接计算数学期望得到：

这个结果可以理解为，在N个球中抽出红球的均值等于一次取出的球数n与红球在球堆中分布的比例（也可以是在盒子里抽出一个红球的概率）的乘积。

考虑到这样的意义，我们很容易将其与二项分布再度联系起来。事实上，如果N足够大，大到抽出n个球对比值M/N几乎无影响（或者是n相较于N足够小），这时我们就可以将比值视为常数p，则超几何分布就近似为二项分布。

超几何分布的方差公式留给大家自行推导~

最后，我们来介绍一下几何分布。

几何分布在实际应用当中出现的也比较多。设若在某Bernoulli试验中，某一事件A在每次试验中发生的概率恒定为p。现在不断重复该实验，直到事件A发生。我们定义随机变量X为实验进行的次数n，那么对于X而言，其分布列就应该是：

此时，我们称X服从几何分布，记作。

最简单地，我们可以让试验为“射击手射击靶子”，让事件A为“射击手射击第X次首次射中靶子”。这样，我们就很好理解几何分布的意义了。

直接计算，我们能得到：

这说明几何分布满足最基本的必要条件，确实可能作为一个分布出现。

对于几何分布，我们有一些初等的方法去求它的数学期望和方差，在这里将给大家介绍这些方法，至于非初等的方法（利用级数理论等），大家可以自由探索~

几何分布的数学期望如下：

我们记：

于是，利用等差比数列的规律（这是中学阶段的一种题型来着？），我们能够计算出：

于是，我们得到了：

至于方差，类似地，我们也可以算出：

记：

类似于刚才的做法，我们得到：

同理，有：

几何分布另一个令人惊奇的性质是它的无记忆性，即：

这一点的证明是十分简单的，直接利用条件概率的定义即可。但是，这一特点的意义却是是扥鲜明的，它表明，无论前面发生了多少次试验，只要事件A未发生，那么之后事件A再经过n次试验才首次发生的概率与前面的试验无关。这就是几何分布的无记忆性。

作为拓展，我们来介绍负二项分布，它是基于二项分布的一种分布形式。

我们说，几何分布是描述某一事件首次发生的试验次数的随机变量的分布。那么，如果我们想要研究某一事件发生了第k次时的试验次数X，又当如何考虑呢？

在Bernoulli试验中，我们仍然记待研究的事件A的概率为p不变。那么，考虑到我们要研究的情形，如果试验进行了到第m次时，事件A第k次发生（m≥k），那么这个模型此时等价于：

（1）前m-1次试验一共发生了k-1次事件A；

（2）第m次发生了事件A；

这样，我们就能够很容易地得到随机变量X的分布列为：

中括号中的项是一个二项分布的概率表达，代表我们考虑了（1）；中括号外的p代表我们考虑到（2）。

直接计算，我们可以发现：

最后的结果我们暂时搁置，在后续的讨论当中我们很快就能给出答案。

由于这一分布涉及到了二项分布的应用，因此称其为负二项分布也不难理解。有些时候，我们也称随机变量X服从Pascal分布。为了方便，我们记其为。

还是一样，我们研究负二项分布的数学期望的表达式，但是方差的表达式就留给大家~

直接计算：

记：

由级数的相关理论知识，以及我们上面对组合数极限的讨论，我们不难知道对于每一个k而言，都是存在且有意义的，因为级数是收敛的。同时，我们就也得到了该数列是有界的。

又因为：

不难看出，这是一个等比数列，又：

（参考几何分布的数学期望的计算。）

于是，这个数列的通项就为：

代入数学期望的表达式中，就得到：

并且，我们还能得到：

这也说明了，负二项分布满足了作为分布的基本条件。

值得注意的是，当我们令k=1时，就得到了几何分布。可以说，负二项分布是几何分布的推广。当然，这点从这两个分布各自所描述的实际意义来看也不难理解。

思考：

1. 证明或回答下列问题：

   （1）试证明时的Poisson定理；

   （2）计算一般的超几何分布的方差公式；

   （3）试用数学语言说明，在n远远小于N时，超几何分布可以近似为二项分布；

   （4）证明几何分布的无记忆性；

   （5）试推导负二项分布的方差公式；

2. 设随机变量X服从Poisson分布（参数为λ）：

   （1）试求事件A=“X取奇数”的概率；

   （2）试证明：

   

3. 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格拒收这批产品。分别用以下方法求拒收的概率：

   （1）用二项分布作精确计算；

   （2）用Poisson分布作近似计算；

4. 设随机变量X(n,p)服从二项分布b(n,p)试证明：

   （1）

   

   （2）

   

5. 设X服从参数为p的几何分布，试证明：

   

最後の最後に、ありがとうございました！