【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep48】聊聊Ep47的一点“纰漏”&结束Stolz定理习题
今天的内容原计划是讲完Stolz公式的最后一道比较复杂的计算题，不过因为Ep47里，有读者留言说仿佛有一处纰漏（画蓝线那一步），所以我们就不妨先聊聊这个问题——
乍一看，仿佛确实很荒谬！——我们逐步分析——
a>1；
0<1/a<1,；
0<1-1/a<1；
那么，应当有lim（a^n）lim（1-1/a）=（1-1/a）lim（a^n）<lim（a^n）才对！
——怎么可能取等于呢？！
这么诡异，只有一种解释了吧？！就是老碧是傻子！！！
——虽然，老碧确实是傻子，但是这里，老碧想说，是扎扎实实的该取等于！
为什么呢？这就要涉及到一个非常有趣也很重要的问题——无穷大的属性。
我们发现，易证等式左边（1-1/a）lim（a^n）=+∞，右边lim（a^n）=+∞，+∞=+∞仿佛无可厚非，但是感觉上应该还是（1-1/a）lim（a^n）<lim（a^n）比较对啊？！
所以究竟哪里出了问题？！
首先我们做一个简单的置换来考虑一下，这种感觉的成因，我们构造数列{bn}，bn=（1-1/a）（a^n），所以显然对于任意n，都有bn=（1-1/a）（a^n）<（a^n）才对，那么对于数列{bn}来说，它的每一项都比数列{a^n}要小，那么怎么极限值就相等了呢？——
这就涉及到数列极限的一个很重要的本质了，数列是一个过程，是一个变量，但是数列极限则不是，它是一个确定的值，是数列最终的趋势，你可以达到，你也可以达不到，它是这个数列的终点，而与这个数列是什么，这个数列以怎样的速度变化无关——
比如说，数列{1/n}和{0}，对于任意n都有1/n>0成立，但是怎么就lim（1/n）=0=lim（0）成立了呢？
因为无论我们找到怎样正数P，都存在自然数j，k，使得j/k<=P<（j+1）/k，都会有P>1/k+1>0，所以在这个数列数值中总能找到一个比这个给定值P小的出现，于是任何的正数都不可能是数列{1/n}的极限，所以lim （1/n）<=0；
又因为对于任意的负数M，1/n>0>M，所以lim（1/n）>=0；
综合1、2，lim（1/n）=0 。
而对于无穷大是不是具有类似的情况我们不清楚，不妨将其转化为无穷小分析——
我们构造数列{cn}和{dn}，其中cn=1/a^n，dn=1/bn=1/[（1-1/a）（a^n）]；
其中lim cn=lim（1/a^n）=0，lim dn=lim（1/bn）=lim{1/[（1-1/a）（a^n）]}=0；
显然lim cn=lim dn=0 ；
自然可以推得（1-1/a）lim（a^n）=lim（a^n）=+∞。
实际上，原因很简单，因为无穷小的倒数是无穷大，那么，既然可以承认两个不相等的数列极限为0时相等，自然也就可以承认两个不相等的数列极限为+∞时相等。
当然，老碧的这一步是没必要写的一步推理，确实是笔误造成的。
正常的做题只需要（1-1/a）lim（a^n）=+∞即可，由无穷大的定义显然可得，没必要画蛇添足。
我们聊一下最后比较复杂的Stolz公式最后一题——
33Stolz公式
最后一题用到了14题的结论，我们复习一下——
14.求数列极限lim（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1），k是自然数——
lim （1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）=lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=1/（k+1）；——Ep47有详细过程。
15.求数列极限lim n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]，k是自然数——
由14题可知，数列{n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]}是0*∞型“不定式”，我们转化为∞/∞型，而后用Stolz公式——
通分——n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]=（1^k+2^k+……+n^k）/n^k-n/（k+1）=[（k+1）（1^k+2^k+……+n^k）-n^（k+1）]/（k+1）n^k；
令xn=（k+1）（1^k+2^k+……+n^k）-n^（k+1），yn=（k+1）n^k；
xn-xn-1=[（k+1）（1^k+2^k+……+n^k）-n^（k+1）]-[（k+1）（1^k+2^k+……+（n-1）^k）-（n-1）^（k+1）]=（k+1）n^k-n^（k+1）+（n-1）^（k+1）；
牛顿二项式展开：（n-1）^（k+1）=n^（k+1）-（k+1）n^k+[k（k+1）/2]n^（k-1）+[k（k+1）（k-1）/6]n^（k-2）+……+（-1）^（k+1）；
由3、4：xn-xn-1=[k（k+1）/2]n^（k-1）+[k（k+1）（k-1）/6]n^（k-2）+……+（-1）^（k+1）；
yn-yn-1=（k+1）n^k-（k+1）（n-1）^k=（k+1）[n^k-（n-1）^k]=（k+1）[n^（k-1）+……+（n-1）^（k-2）*n+（n-1）^（k-1）]；
求出lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim{[k（k+1）/2]n^（k-1）+[k（k+1）（k-1）/6]n^（k-2）+……+（-1）^（k+1）}/{（k+1）[n^（k-1）+……+（n-1）^（k-2）*n+（n-1）^（k-1）]}=lim {k（k+1）/2+[k（k+1）（k-1）/6]（1/n）+……+（-1/n）^（k-1）}/{（k+1）[1+……+（1-1/n）^（k-2）+（1-1/n）^（k-1）]}=[k（k+1）/2]/[k（k+1）]=1/2；——先分子分母都除以n^（k-1），再将所有含有1/n的项都舍去即可；
所以lim {n[（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）-1/（k+1）]}=lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=1/2。
所有的难度都在计算上，不难，但是挺麻烦的~明天继续！
