一、数列的基本概念

1、定义：

按照一定的次序排列的一列数，例如：a1，a2，a3，…，an，…，叫做数列，简记为{an}（n∈N+）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。第n项an叫做这个数列的通项或一般项。排在第一位的数称为这个数列的第一项，也称为首项。下角标数1，2，3，…，n叫做项数。数列按照有限性可分为有穷数列（有限项）和无穷数列（无限多项）。

2、通项公式：

如果一个数列{an}的第n项an能用关于项数n的一个表达式来表示，那么这个表达式叫做这个数列的通项公式。

3、前n项和：

如果一个数列{an}的前n项为：a1，a2，a3，…，an（n∈N+），我们把这些数相加叫做这个数列的前n项和，一般记作Sn，则Sn= a1+a2+a3+…+an。数列{an}的前n项和Sn也能用关于项数n的一个表达式来表示。

4、利用数列的前n项和公式来求通项公式：

5、常数列：

如果一个数列的每一项都为同一个常数m，那么这个数列叫做常数列，通项公式为an=m,前n项Sn=nm。

二、等差数列

1、定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。常数叫做公差，记为d。

2、通项公式：

以首项a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d（n∈N+）。通用形式为an=kn+b。（n∈N+）

推导：

①累加法：

在等差数列{an}中：an-(an-1)=d,

an-a(n-1)=d,

a(n-1)-a(n-2)=d,

……

a2-a1=d,

把这n-1个式子相加可得：an-a1=(n-1)d,即：an=a1+（n-1）d（n∈N+）。

②迭代法：

因为{an}是等差数列，

所以an=a(n-1)+d=a(n-2)+2d=……=a1+(n-1)d（n∈N+）。

3、等差中项：

若a，b，c三数成等差数列， 则b=（a+c）/2，2b=a+c，称b为a、c的等差中项。

4、等差数列的前n项和：

设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1为首项，d为公差

Sn=n(a1+an）/2=na1+n(n-1)d/2（n∈N+）

通用形式为Sn=kn²+bn（n∈N+）

推导：（分组求和法）

因为Sn=a1+a2+a3+…+an=an+ an-1 + an-2 +…+a1,

所以2Sn=(a1+an)+(a2+ an-1 )+…+(an+a1)

又因为a1+an=a2+ an-1 =…=an+a1，

所以Sn= n(a1+an）/2，

又因为an=a1+(n-1)d，

所以Sn=na1+ n(n-1)d/2（n∈N+）。

5、等差数列的性质：

①下角标和的性质：

若m+n=p+q（m、n、p、q∈N+），则am+an=ap+aq。

证明：

因为m+n=p+q，

所以a(m+n)=a(p+q），am=a(m+n)-nd,an=a(m+n)-md

所以am+an=2a(m+n)-(nd+md）= 2a(p+q)-(pd+qd）=ap+aq。

②两个等差数列{an}与{bn}的和数列{an+bn}，差数列{an-bn}仍为等差数列。（可以利用数列{an}与{bn}的通项公式的通用形式为kn+b来证明）

③等差数列任意等距的项构成的数列仍为等差数列。

举例：等差数列{an}的项为：a1、a2、a3、……、an、……，首项a1，公差为d，从中取出a1、a3、a5、……，首项a1，公差为2d，此数列为等差数列。（还是利用其通项公式）

④等差数列{an}的任意连续k（k∈N+）项的和构成的数列Sk，S(2k)-Sk，S(3k)-S(2k)，S(4k)-S(3k)，……仍为等差数列。

证明：设等差数列{an}，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n、k∈N+）

则【S(2k)-Sk】-Sk=【S(3k)-S(2k)】-【S(2k)-Sk】 = 【S(4k)-S(3k)】-【S(3k)-S(2k)】=…=【S(nk+k)-S(nk)】-【S(nk)-S(nk-k)】=(k^2)xd，

所以新构成的数列为等差数列，首项为Sk，公差为(k^2)xd。

三、等比数列

1、定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示（q≠0）。

2、通项公式：

以首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1×q^(n-1)（n∈N+，a1、q≠0）。

推导：

①累乘法：

在等比数列{an}中：an / a(n-1)=q，

an / a(n-1)=q,

a(n-1) / a(n-2)=q,

……

a2 / a1=q,

把这n-1个式子相乘可得：an / a1=q^(n-1),即：an=a1×q^(n-1）（n∈N+，a1、q≠0）

②迭代法：

因为{an}是等比数列，

所以an=a(n-1)×q=a(n-2)×q^2=……=a1×q^(n-1)（n∈N+，a1、q≠0）

3、等比中项：

若a、b、c三数成等比数列，则b=±√ac，称b为a、c的等比中项。（a、b、c≠0）

4、等比数列的前n项和：

设Sn为等比数列{an}的前n项和，a1为首项，q为公比。（n∈N+，a1、q≠0）

推导：

①当q=1时，Sn=na1，an=a1≠0（常数列）

②当q≠1时，（错位相减法）

由(1)-(2)得：(1-q)Sn=a1-anq

所以Sn=a1-anq / (1-q)（q≠1）。

5、等比数列的性质：

①下角标和的性质：

若b+d=c+f，则ab×ad=ac×af（b、d、c、f∈N+）

证明：

因为b+d=c+f，

所以a(b+d)=a(c+f)，ab=a(b+d)/q^d，ad= a(b+d)/q^b

所以ab×ad=a(b+d)^2 / q^(b+d)= a(c+f)^2 / q^(c+f)=ac×af

②等比数列的基本运算：【以两个等比数列{an}和{bn}为例 ，首项分别为a1、b1，公比分别为q1、q2(n∈N+）】

（1）两个等比数列{an}和{bn}的倒数数列{1/an}和{1/bn}为等比数列，首项分别为1/a1、1/b1，公比分别为1/q1、1/q2；

（2）两个等比数列{an}和{bn}的平方数列{an^2}和{bn^2}为等比数列，首项分别为a1^2、b1^2，公比分别为q1^2、q2^2；

（3）两个等比数列{an}和{bn}的积数列{an×bn}为等比数列,此数列的首项为（a1xb1），公比为（q1xq2）；

（4）两个等比数列{an}和{bn}的商数列{an/bn}为等比数列，此数列的首项为（a1/b1），公比为（q1/q2）。

③等比数列任意等距的项构成的数列仍为等比数列。

举例：等比数列{an}的项为：a1，a2，a3，……，an，……首项a1，公比为q，从中取出a1，a3，a5，……，首项a1，公比为q^2，此数列为等比数列。（还是利用等比数列的通项公式）

④等比数列{an}的任意连续k（k∈N+）项的和构成的数列Sk，S(2k)-Sk，S(3k)-S(2k)，S(4k)-S(3k)，……仍为等比数列。

证明：设等比数列{an}，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn（n、k∈N+）

则【S(2k)-Sk】/Sk= 【S(3k)-S(2k)】/【S(2k)-Sk】=【S(4k)-S(3k)】/【S(3k)-S(2k)】=…=【S(nk+k)-S(nk)】/【S(nk)-S(nk-k)】=q^k，

所以新构成的数列为等比数列，首项为Sk，公比为q^k。

⑤若数列{an}为等差数列，则数列{c^an}为等比数列。

证明：设在等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，(n∈N+)

则在数列{c^an}中（c≠0），

c^a2/c^a1=c^(a2-a1)=c^d

c^a3/c^a2=c^(a3-a2)=c^d

……

c^an/c^(an-1)=c^[an-(an-1)]=c^d

根据等比数列的定义可得，数列{c^an}为等比数列，首项为c^a1，公比为c^d。

⑥若数列{bn}为等比数列，则数列{Lgbn}为等差数列。

证明：设在等比数列{bn}中，设首项为b1，公比为q，(n＞1且n∈N+)

则在数列{Lgbn}中，

Lgb2-Lgb1=lg(b2/b1)=lgq

Lgb3-Lgb2=lg(b3/b2) =lgq

……

Lgbn-Lg(bn-1)=lg[bn/(bn-1)] =lgq

根据等差数列的定义可得，数列{Lgbn}为等差数列，首项为Lgb1，公差为Lgq。